浙江省湖州市重点中学2023-2024学年高三上学期期中测试...

更新时间：2024-01-30 浏览次数：23 类型：期中考试

一、单选题（1-8题为单选题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共40分）

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知非零向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量，则向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 夹角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位）为复数，则下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 是纯虚数，则 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . 复数 $\text{[math]}$ 模长的平方值等于复数 $\text{[math]}$ 的平方值 C . 若 $\text{[math]}$ 的模长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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4. 若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则满足不等式 $\text{[math]}$ 的最大正整数 $\text{[math]}$ 为（）

A . 28 B . 29 C . 30 D . 31

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5. 甲箱中有 $\text{[math]}$ 个红球， $\text{[math]}$ 个白球和 $\text{[math]}$ 个黑球；乙箱中有 $\text{[math]}$ 个红球， $\text{[math]}$ 个白球和 $\text{[math]}$ 个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 表示由甲箱中取出的是红球、白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以 $\text{[math]}$ 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则下列结论错误的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 事件 $\text{[math]}$ 与事件 $\text{[math]}$ 不相互独立 D . $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两两互斥

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6. 设函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 恰有5个不同零点，则正实数 $\text{[math]}$ 的范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 对于平面上点 $\text{[math]}$ 和曲线 $\text{[math]}$ ，任取 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 的长度存在最小值，则称该值为点 $\text{[math]}$ 到曲线 $\text{[math]}$ 的距离，记作 $\text{[math]}$ ．下列结论中正确的个数为（）
①若曲线 $\text{[math]}$ 是一个点，则点集 $\text{[math]}$ 所表示的图形的面积为 $\text{[math]}$ ；②若曲线 $\text{[math]}$ 是一个半径为 $\text{[math]}$ 的圆，则点集 $\text{[math]}$ 所表示的图形的面积为 $\text{[math]}$ ；③若曲线 $\text{[math]}$ 是一个长度为 $\text{[math]}$ 的线段，则点集 $\text{[math]}$ 所表示的图形的面积为 $\text{[math]}$ ；④若曲线 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，则点集 $\text{[math]}$ 所表示的图形的面积为 $\text{[math]}$ ．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 已知数列{an}满足 $\text{[math]}$ ，对于函数f（x）＝x|x|，定义F（n）＝ $\text{[math]}$ ．
①若{a_n}为等比数列，则F（n）＞0恒成立；②若{a_n}为等差数列，则F（n）＞0恒成立．
关于上述命题，以下说法正确的是（　　）

A . ①②都正确 B . ①②都错误 C . ①正确，②错误 D . ①错误，②正确

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二、多选题（9-12题为多选题，每小题有2-4个正确选项，全部选对得5分，部分选对得2分，共20分）

9. 如图所示，棱长为3的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点（不含端点），则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角可能是 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是定值 D . 当 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 到平面 $\text{[math]}$ 的距离为1

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10. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，下列四个命题中正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是等腰三角形 B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是等腰三角形 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 一定是等边三角形 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 是直角三角形

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11. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ 的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（）

A . 点F到C的一条渐近线的距离为2 B . 双曲线C的离心率为 $\text{[math]}$ C . 则P到C的两条渐近线的距离之积大于4 D . 当 $\text{[math]}$ 最小时，则 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 为定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的图象关于点 $\text{[math]}$ 对称 C . $\text{[math]}$ 以6为周期的函数 D . $\text{[math]}$

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三、填空题（13-16题为填空题，请在空白处填出正确答案，每小题5分，共20分）

13. 已知 $\text{[math]}$ ，若存在 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ ，则k的最大值为．

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14. 已知空间一个平面与一个正方体的12条棱所成的角都等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =.

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15. 若平面上的三个单位向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的所有可能的值组成的集合为．

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16. 若存在实常数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 对其公共定义域上的任意实数 $\text{[math]}$ 都满足 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 恒成立，则称直线 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的“隔离直线”．已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则有下列命题：
① $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有“隔离直线”；
② $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在“隔离直线”，且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在“隔离直线”，且 $\text{[math]}$ 的取值范围是 $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 之间存在唯一的“隔离直线” $\text{[math]}$ ．
其中真命题的序号为．（请填上所有正确命题的序号）

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四、解答题（17-22题为解答题，17题10分，18-22题每题12分，请在答题纸固定位置填入答案和解答步骤，共70分）

17. 2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $\text{[math]}$ ，第二组 $\text{[math]}$ ，第三组 $\text{[math]}$ ，第四组 $\text{[math]}$ ，第五组 $\text{[math]}$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同．
1. （1）估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；
2. （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．
  若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组面试者所有人的方差．
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18. 已知四棱锥 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为平行四边形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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19. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，设边 $\text{[math]}$ 所对的角分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦距为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ，椭圆的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，直角坐标原点记为 $\text{[math]}$ ．设点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作倾斜角为锐角的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于不同的两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ．
1. （1）设椭圆上有一动点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，判别椭圆上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得非零向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 平行，请说明理由．
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21. 已知空间向量列 $\text{[math]}$ ，如果对于任意的正整数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则称此空间向量列 $\text{[math]}$ 为“等差向量列”， $\text{[math]}$ 称为“公差向量”；空间向量列 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 且对于任意的正整数 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则称此空间向量列 $\text{[math]}$ 为“等比向量列”，常数 $\text{[math]}$ 称为“公比”．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 是“等差向量列”，“公差向量” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 是“等比向量列”，“公比” $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是“等差向量列”， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，等式 $\text{[math]}$ 对于 $\text{[math]}$ 和2均成立，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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22. 设 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，若存在区间 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上严格减，在 $\text{[math]}$ 上严格增，则称 $\text{[math]}$ 为“含谷函数”， $\text{[math]}$ 为“谷点”， $\text{[math]}$ 称为 $\text{[math]}$ 的一个“含谷区间”．
1. （1）已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是含谷函数，且 $\text{[math]}$ 是它的一个含谷区间，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．设函数 $\text{[math]}$ 是含谷函数， $\text{[math]}$ 是它的一个含谷区间，并记 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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