一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
-
-
2.
人们对数学研究的发展一直推动着数域的扩展,从正数到负数、从整数到分数、从有理数到实数等等.16世纪意大利数学家卡尔丹和邦贝利在解方程时,首先引进了
, 17世纪法因数学家笛卡尔把i称为“虚数”,用
表示复数,并在直角坐标系上建立了“复平面”.若复数z满足方程
, 则
( )
-
3.
我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数(一个整数除了1和它本身没有其他约数的数称为素数)的和,如
, 在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是( )
-
A . 1
B . 14
C .
D .
-
-
-
7.
已知双曲线C:
的焦点到渐近线的距离为
, 直线l与C相交于A、B两点,若线段
的中点为
, 则直线l的斜率为( )
A .
B . 1
C .
D . 2
-
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
-
9.
设
为两个互斥的事件,且
, 则( )
-
-
-
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
-
-
14.
“中国剩余定理”又称“孙子定理”,可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第十六题的“物不知数”问题,原文如下:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二.问物几何?现有一个相关的问题:将1到2 023这2 023个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列,构成一个数列,则该数列的项数为.
-
15.
已知椭圆
的左焦点为F,过原点O的直线l交椭圆C于点A,B,且
, 若
, 则椭圆C的离心率是
.
-
16.
(2020·江苏)
在△ABC中,
D在边BC上,延长AD到P,使得AP=9,若
(m为常数),则CD的长度是
.
四、解答题:本题共6小题,共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
-
17.
记
的内角A,B,C的对边分期为a,b,c,已知点D在边AC上,且
,
.
-
(1)
证明:
是等腰三角形;
-
(2)
若
, 求
-
-
(1)
证明:
是等比数列;
-
-
19.
如图,已知四棱台
的上、下底面分别是边长为2和4的正方形,
, 且
底面
, 点
分别在棱
、
上·
-
(1)
若P是
的中点,证明:
;
-
(2)
若
平面
, 且平面PQD与平面AQD的夹角的余弦值为
, 求四面体
的体积.
-
20.
设有甲、乙、丙三个不透明的箱子,每个箱中装有除颜色外都相同的5个球,其中甲箱有3个蓝球和2个黑球,乙箱有4个红球和1个白球,丙箱有2个红球和3个白球.摸球规则如下:先从甲箱中一次摸出2个球,若从甲箱中摸出的2个球颜色相同,则从乙箱中摸出1个球放入丙箱,再从丙箱中一次摸出2个球;若从甲箱中摸出的2个球颜色不同,则从丙箱中摸出1个球放入乙箱,再从乙箱中一次摸出2个球.
-
(1)
若最后摸出的2个球颜色不同,求这2个球是从丙箱中摸出的概率;
-
(2)
若摸出每个红球记2分,每个白球记1分,用随机变量
表示最后摸出的2个球的分数之和,求
的分布列及数学期望.
-
21.
已知抛物线
, 过点(2,0)的直线交
于
,
两点,圆
是以线段
为直径的圆.
-
(1)
证明:坐标原点
在圆
上;
-
-
22.
已知函数
(
……是自然对数底数).
-
(1)
当
时,讨论函数
的单调性;
-
(2)
当
时,证明:
.