福建省泉州市2021届高三数学一模试卷

更新时间：2021-07-22 浏览次数：147 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知i是虚数单位，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 中元素的个数为（）

A . 2 B . 3 C . 4 D . 5

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 0

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4. “立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试数据 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）服从正态分布 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，现从该地区高中男生中随机抽取3人，并记 $\text{[math]}$ 不在 $\text{[math]}$ 的人数为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在长方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 有且只有4个公共点，这些公共点从左到右依次为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 记等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最大值为30 D . $\text{[math]}$ 的最大值为15

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上为增函数 B . 当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有且只有3个不同实根 C . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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12. 如图，已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，侧棱长为2，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别在半圆弧 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （均不含端点）上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在球 $\text{[math]}$ 上，则（）

A . 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中点处，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值 B . 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 中点处，过 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形 C . 球 $\text{[math]}$ 的表面积的取值范围为 $\text{[math]}$ D . 当点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的三等分点处，球 $\text{[math]}$ 的表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. $\text{[math]}$ 展开式中，二项式系数最大的项的系数为.（用数字填写答案）

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14. 圆锥曲线光学性质（如图1所示）在建筑、通讯、精密仪器制造等领域有着广泛的应用.如图2，一个光学装置由有公共焦点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 构成，一光线从左焦点 $\text{[math]}$ 发出，依次经过 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的反射，又回到点 $\text{[math]}$ 历时 $\text{[math]}$ 秒；若将装置中的 $\text{[math]}$ 去掉，则该光线从点 $\text{[math]}$ 发出，经过 $\text{[math]}$ 两次反射后又回到点 $\text{[math]}$ 历时 $\text{[math]}$ 秒.若 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的离心率之比为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 若正数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. 甲问乙：“您有几个孩子”，乙说：“四个”.此时，一男孩过来.乙对甲说：“这是我小孩”，接着乙对该男孩说：“去把哥哥姐姐都叫过来，你们四人一起跟甲去趟学校”.
根据上述信息，结合正确的推理，最多需要猜测次，才可以推断乙的四个小孩从长到幼的正确性别情况；第3次才猜对的概率为.

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 是等比数列；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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18. 脱贫攻坚取得的全面胜利是中国共产党领导全国人民创造的又一个彪炳史册的人间奇迹.某地区有一贫困村坐落于半山平台，村民通过悬崖峭壁间的藤条结成的“藤梯”往返村子，因而被称为“悬崖村”.当地政府把“藤梯”改成钢梯，使之成为村民的“脱贫天梯”，实现了“村民搬下来，旅游搬上去”，做到了长效脱贫.
如图，为得到峭壁上的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的距离，钢梯的设计团队在崖底的 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点处分别测得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ ，又经计算得 $\text{[math]}$ 米，求 $\text{[math]}$ .
  参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
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19. 永春老醋以其色泽鲜艳，浓香醇厚的独特风味，与山西陈醋、镇江香醋、保宁药醋并称中国四大名醋.为提高效率、改进品质，某永春老醋生产公司于2018年组织技术团队进行发酵工艺改良的项目研究.2020年底，技术团队进行阶段试验成果检验，为下阶段的试验提供数据参考.现从改良前、后两种发酵工艺生产的成品醋中，各随机抽取100件进行指标值 $\text{[math]}$ 的检测，检测分两个步骤，先检测是否合格，若合格，再进一步检测是否为一等品.因检测设备问题，改良后的成品醋有20件只进行第一步检测且均为合格，已完成检测的180件成品醋的最终结果如下表所示.

指标区间

$\text{[math]}$

来源

改良前

改良后

改良前

改良后

改良前

改良后

改良前

改良后

改良前

改良后

改良前

改良后

个数

附：成品醋的品质采用指标值 $\text{[math]}$ 进行评价，评价标准如下表所示.

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
一等品	二等品	三等品
合格		不合格

（1）现从样本的不合格品中随机抽取2件，记来自改良后的不合格品件数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列；
（2）根据以往的数据，每销售一件成品醋的利润多少（单位：元）与指标值 $\text{[math]}$ 的关系为 $\text{[math]}$ ，若欲实现“改良后成品醋利润比改良前至少增长 $\text{[math]}$ ”，则20件还未进一步检测的样本中，至少需要几件一等品？

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20. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，二面角 $\text{[math]}$ 是直二面角， $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形 $\text{[math]}$ 的斜边， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，右焦点为 $\text{[math]}$ ，折线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，证明：点 $\text{[math]}$ 在定直线上.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 单调递减，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）证明：对任意整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 至多1个零点.
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