广东省佛山市重点中学2023-2024学年高三上学期12月数...

更新时间：2024-02-28 浏览次数：11 类型：月考试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，共40分，在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项．）

1. 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则共轭复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 函数 $\text{[math]}$ 的大致图象为（）

A . B . C . D .

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4. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，其前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 63 B . 72 C . 135 D . 144

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6. 如图，棱长都相等的平行六面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2024高三上·九龙期中) 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 设函数 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的零点， $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的图象的对称轴，且 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有且只有一个极大值点，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 12

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二、多项选择题（本大题共4小题，共20分．在每小题列出的选项中，有多项符合题目要求．）

9. 在 $\text{[math]}$ 中，下列命题正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为等腰三角形 C . $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为锐角三角形

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10. 已知直线l： $\text{[math]}$ ，圆E： $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 直线l必过点 $\text{[math]}$ B . 直线l与圆E必相交 C . 圆心E到直线l的距离的最大值为1 D . 当 $\text{[math]}$ 时，直线l被圆E截得的弦长为 $\text{[math]}$

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11. 如图，平面四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 是等边三角形， $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， M是AD的中点．沿BL将 $\text{[math]}$ 翻折，折成三棱锥 $\text{[math]}$ ，翻折过程中下列结论正确的是（）

A . 当平面 $\text{[math]}$ 平面BDC时，三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球的表面积是 $\text{[math]}$ B . 棱CD上存在一点N，使得 $\text{[math]}$ 平面ABC C . 存在某个位置，使得CM与BD所成角为锐角 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，二面角 $\text{[math]}$ 的正切值为 $\text{[math]}$

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12. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， p为非零常数），则称 $\text{[math]}$ 为“等方差数列”，P称为“公方差”，下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 是等方差数列 B . 若正项等方差数列 $\text{[math]}$ 的首项 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是等比数列，则 $\text{[math]}$ C . 等比数列不可能为等方差数列 D . 存在数列 $\text{[math]}$ 既是等差数列，又是等方差数列

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三、填空题（本大题共4小题，共20分．）

13. 当 $\text{[math]}$ 时，幂函数 $\text{[math]}$ 为减的数，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 如图，一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为 $\text{[math]}$ ，则圆锥底面圆的半径等于．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为．

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．若实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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四、解答题（本大题共6小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）

17. 已知直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ：ax+y-a=0，且直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直．
1. （1）求a的值：
2. （2）若直线l过直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点P，且原点到该直线的距离为3，求直线l的方程．
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18. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为锐角三角形，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. 在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面PAB；
2. （2）若直线PC与平面CEMN的所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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20. 某大学生创客实践基地，甲、乙两个团队生产同种创新产品，现对其生产的产品进行质量检验．
1. （1）为测试其生产水准，从甲、乙生产的产品中各抽检15个样本，评估结果如图：
  
  甲
  乙
  总和
  合格
  
  不合格
  
  总和
  15
  15
  30
  现将“一、二、三等”视为产品质量合格，其余为产品质量不合格，请完善2×2列联表，依据α=0.05的独立性检验，能否认为产品质量与生产团队有关联；
2. （2）将甲乙生产的产品各自进行包装，每5个产品包装为一袋，现从中抽取一袋检测（假定抽取的这袋产品来自甲生产的概率为 $\text{[math]}$ ，来自乙生产的概率为 $\text{[math]}$ ），求这袋产品中恰有4件合格品的概率（以（1）中各自产品的合格频率代替各自产品的合格概率）．
  附： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  $\text{[math]}$
  0.15
  0.10
  0.05
  0.025
  0.010
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.072
  2.706
  3.841
  5.024
  6.635
  10.828
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21. 已知单调递增的等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， _▲_．
给出以下条件：① $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项：② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列：③ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列，从中任选一个，先指出，再解答．
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ 是以2为首项，2为公比的等比数列，数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．
3. （3）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 若对实数 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 为“平滑函数”， $\text{[math]}$ 为该函数的“平滑点”
已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）若1是平滑函数 $\text{[math]}$ 的“平滑点”，
  ①求实数a，b的值；
  ②若过点 $\text{[math]}$ 可作三条不同的直线与函数 $\text{[math]}$ 的图象相切，求实数t的取值范围；
2. （2）判断是否存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，函数 $\text{[math]}$ 存在正的“平滑点”，并说明理由．
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