重庆市主城九龙坡区2024届高三第一学期数学期中试卷

更新时间：2023-12-19 浏览次数：32 类型：期中考试

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $\text{[math]}$ 均为非空集合，且满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知命题 $\text{[math]}$ ，命题q：复数 $\text{[math]}$ 为纯虚数，则命题 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2020高一上·建昌月考) 《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点 $\text{[math]}$ 在半圆 $\text{[math]}$ 上，点 $\text{[math]}$ 在直径 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该图形可以完成的无字证明为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知数列 $\text{[math]}$ 均为等差数列，且 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项的和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 84 B . 540 C . 780 D . 920

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 0 D . $\text{[math]}$

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7. 为落实立德树人的根本任务，践行五育并举，某学校开设 $\text{[math]}$ 三门劳动教育校本课程，现有甲、乙、丙、丁、戊五位同学报名参加该校劳动教育校本课程的学习，每位同学仅报一门，每门至少有一位同学参加，则不同的报名方法有（）

A . 60种 B . 150种 C . 180种 D . 300种

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中随机抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，并按照 $\text{[math]}$ 的分组作出频率分布直方图如图所示．则下列说法正确的是（）

A . 样本的众数为70 B . 样本的 $\text{[math]}$ 分位数为78.5 C . 估计该市全体学生成绩的平均分为70.6 D . 该市参加测试的学生中低于60分的学生大约为320人

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 B . $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后所得图象关于 $\text{[math]}$ 轴对称 C . 若 $\text{[math]}$ 对任意实数 $\text{[math]}$ 都成立，则 $\text{[math]}$ D . 方程 $\text{[math]}$ 有3个不同的实数根

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11. 甲、乙、丙三人玩传球游戏，持球人把球传给另外两人中的任意一人是等可能的．从一个人传球到另一个人称传球一次．若传球开始时甲持球，记传球 $\text{[math]}$ 次后球仍回到甲手里的概率为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为（用数字作答）．

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14. 曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线的倾斜角为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 定义：在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为常数，则称数列 $\text{[math]}$ 为“等比差”数列，已知“等比差”数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 若 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的函数，且 $\text{[math]}$ 为奇函数， $\text{[math]}$ 为偶函数．则 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上的最小值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值．
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18. 2023年9月23日第19届亚运会在中国杭州举行，其中电子竞技第一次列为正式比赛项目．某中学对该校男女学生是否喜欢电子竞技进行了调查，随机调查了男女生人数各200人，得到如下数据：
1. （1）根据表中数据，采用小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，能否认为该校学生对电子竞技的喜欢情况与性别有关？
2. （2）为弄清学生不喜欢电子竞技原因，采用分层抽样的方法从调查的不喜欢电子竞技的学生中随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，求“至少抽到一名男生”的概率；
3. （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取10人，记其中对电子竞技喜欢的人数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的数学期望．
  参考公式及数据： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
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19. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，若对任意 $\text{[math]}$ 都有 $\text{[math]}$ 成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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20. 当前，新一轮科技革命和产业变革蓬勃兴起，以区块链为代表的新一代信息技术迅猛发展，现收集某地近6年区块链企业总数量相关数据，如下表：
1. （1）若用模型 $\text{[math]}$ 拟合 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的关系，根据提供的数据，求出 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的经验回归方程；
2. （2）为了促进公司间的合作与发展，区块链联合总部决定进行一次信息化技术比赛，邀请甲、乙、丙三家区块链公司参赛．比赛规则如下：①每场比赛有两个公司参加，并决出胜负；②每场比赛获胜的公司与未参加此场比赛的公司进行下一场的比赛；③在比赛中，若有一个公司首先获胜两场，则本次比赛结束，该公司获得此次信息化比赛的“优胜公司”．已知在每场比赛中，甲胜乙的概率为 $\text{[math]}$ ，甲胜丙的概率为 $\text{[math]}$ ，乙胜丙的概率为 $\text{[math]}$ ，若首场由甲乙比赛，求甲公司获得“优胜公司”的概率．
  参考数据： $\text{[math]}$ ，其中， $\text{[math]}$
  参考公式：对于一组数据 $\text{[math]}$ ，其经验回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\text{[math]}$
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恰有一个极小值点，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围；
3. （3）若对于任意 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 是减函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 有两个零点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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