2024高考一轮复习第三十二讲数列综合

更新时间：2023-12-04 浏览次数：67 类型：一轮复习

一、选择题

1. (2023·黄埔) 南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若 $\text{[math]}$ 是公差不为零的等差数列，则称数列 $\text{[math]}$ 为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球， $\text{[math]}$ ，则第40层放小球的个数为（）

A . 1640 B . 1560 C . 820 D . 780

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2. (2023·广州模拟) 斐波那契数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其每一项称为“斐波那契数”.如图，在以斐波那契数为边长的正方形拼成的长方形中，利用下列各图中的面积关系，推出 $\text{[math]}$ 是斐波那契数列的第（）项.

A . 2022 B . 2023 C . 2024 D . 2025

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3. (2023·铜川模拟) 等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . -11 B . -8 C . 5 D . 11

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4. (2023·大庆模拟) 定义 $\text{[math]}$ ，已知数列 $\text{[math]}$ 为等比数列，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4 B . ±4 C . 8 D . ±8

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5. (2023·虹口模拟) 在数列 $\text{[math]}$ 中，若有 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 均为正整数，且 $\text{[math]}$ ），就有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为“递等数列”.已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，将“递等数列” $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 4720 B . 4719 C . 4718 D . 4716

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6. (2023·临潼模拟) 数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若该数列满足 $\text{[math]}$ ，则下列命题中错误的是（）

A . $\text{[math]}$ 是等差数列 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 是等比数列

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7. (2023·奉贤模拟) 设 $\text{[math]}$ 是一个无穷数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若一个数列满足对任意的正整数 $\text{[math]}$ ，不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，则称数列 $\text{[math]}$ 为和谐数列，有下列3个命题：
①若对任意的正整数 $\text{[math]}$ 均有 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为和谐数列；
②若等差数列 $\text{[math]}$ 是和谐数列，则 $\text{[math]}$ 一定存在最小值；
③若 $\text{[math]}$ 的首项小于零，则一定存在公比为负数的一个等比数列是和谐数列．
以上3个命题中真命题的个数有（）个

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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8. (2023·陕西模拟) 已知等比数列 $\text{[math]}$ 的前n项和与前n项积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，公比为正数，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 成立的n的最大值为（）

A . 8 B . 9 C . 12 D . 13

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9. (2023·滁州模拟) 由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年.龙被视为中华古老文明的象征，大型龙类风筝放飞场面壮观，气势磅磗，因而广受喜爱.某团队耗时4个多月做出一长达200米、重约25公斤，“龙身”共有180节“鱗片”的巨龙风筝.制作过程中，风箏骨架可采用竹子制作，但竹子易断，还有一种耐用的碳杆材质也可做骨架，但它比竹质的成本高.最终团队决定骨架材质按图中规律排列（即相邻两碳质骨架之间的竹质骨架个数成等差数列），则该“龙身”中竹质骨架个数为（）

A . 161 B . 162 C . 163 D . 164

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10. (2023·南宁模拟) 如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……在2015年世乒赛期间，苏州某景点就用乒乓球堆成“三角垛”型的装饰品，假设一个“三角垛”装饰品共有n层，记使用的乒乓球数量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）
（参考公式： $\text{[math]}$ ）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. (2023·铜川模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且点 $\text{[math]}$ 总在直线 $\text{[math]}$ 上，则数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .

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12. (2023·松江模拟) 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为升．

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13. (2023·黄山模拟) 如图给出的三角形数阵，图中虚线上的数 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，依次构成数列 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. (2023·达州模拟) $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，给出以下四个结论：
① $\text{[math]}$ ；
② $\text{[math]}$ ；
③ $\text{[math]}$ ；
④ $\text{[math]}$ .
其中正确的是（写出全部正确结论的番号）.

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三、解答题

15. (2023·张家界模拟) 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
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16. (2023·白山模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，公比不为 $\text{[math]}$ 的等比数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ .
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17. (2023·商洛模拟) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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18. (2023·梅州模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）令 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，说明理由．
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19. (2023·蚌埠模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ .
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20. (2023·宣城模拟) 已知数列 $\text{[math]}$ 是首项为1的等差数列，公差 $\text{[math]}$ ，设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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21. (2022·南阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是数列 $\text{[math]}$ 的前n项和，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，证明： $\text{[math]}$ ．
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22. (2023高三下·浙江月考) 已知 $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列， $\text{[math]}$ 为正项数列， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）记 $\text{[math]}$ ．求数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
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