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上海市松江区2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-05-11 浏览次数：42 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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2. (2022高一下·徐汇期末) 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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3. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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4. 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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6. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为．（用数字作答）

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7. 将下图所示的圆锥形容器内的液体全部倒入底面半径为 $\text{[math]}$ 的直立的圆柱形容器内，则液面高度为 $\text{[math]}$ ．

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8. 现从 $\text{[math]}$ 名男医生和 $\text{[math]}$ 名女医生中抽取两人加入“援沪医疗队”，用 $\text{[math]}$ 表示事件“抽到的两名医生性别同”， $\text{[math]}$ 表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则 $\text{[math]}$ .

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9. 参考《九章算术》中“竹九节”问题，提出：一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共2升，下面3节的容积共3升，则第5节的容积为升．

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10. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的奇函数；且 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 已知点 $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系中关于 $\text{[math]}$ 轴对称的两点，且 $\text{[math]}$ ．若存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 垂直，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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二、单选题

13. 已知直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件

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14. 为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：
收入x（万元）
8.2
8.6
10.0
11.3
11.9
支出y（万元）
6.2
7.5
8.0
8.5
9.8
根据上表可得回归直线方程 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（）

A . 11.4万元 B . 11.8万元 C . 12.0万元 D . 12.2万元

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15. 若方程 $\text{[math]}$ 的解集为M，则以下结论一定正确的是（）
（1） $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
（3） $\text{[math]}$
（4） $\text{[math]}$

A . （1）（4） B . （2）（4） C . （3）（4） D . （1）（3）（4）

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16. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在区间 $\text{[math]}$ 上有最大值，则实数t的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、解答题

17. 在锐角 $\text{[math]}$ 中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角B；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为平行四边形，O是AC与BD的交点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平面ABCD， $\text{[math]}$ ， M是PD的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ 平面ACM
2. （2）求直线AM与平面ABCD所成角的大小．
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19. 某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下：
车型
A
B
C
D
E
F
价格
9万元
12万元
18万元
24万元
30万元
40万元
占比
5%
15%
25%
35%
15%
5%
1. （1）如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？
2. （2）车企推出两种付款方式：
  全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%；
  分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的 $\text{[math]}$ ．
  ①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001）
  ②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001）
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ；双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．过点 $\text{[math]}$ 作不垂直于y轴的直线l交曲线 $\text{[math]}$ 于点A、B，点M为线段AB的中点，直线OM交曲线 $\text{[math]}$ 于P、Q两点．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求直线PQ的方程；
3. （3）求四边形APBQ面积的最小值.
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21. 已知 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）试将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 中的一个函数表示为另外两个函数复合而成的复合函数；
2. （2）借助（1）的结果，求函数 $\text{[math]}$ 的导函数和最小值；
3. （3）记 $\text{[math]}$ ， a是实常数，函数 $\text{[math]}$ 的导函数是 $\text{[math]}$ ．已知函数 $\text{[math]}$ 有三个不相同的零点 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
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