云南省昆明市五华区2024届高三上学期数学期中试卷

更新时间：2023-12-18 浏览次数：18 类型：期中考试

一、单选题

1. 设集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知甲、乙两个班的学生人数分别为45人和55人，在某次考试中，甲、乙两个班的数学平均分分别为110分和90分，则这两个班全体学生的平均分为（）

A . 98分 B . 99分 C . 100分 D . 101分

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4. 已知 $\text{[math]}$ 为等差数列，数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 26 B . 27 C . 28 D . 29

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5. 工厂需要将某种废气经过过滤后排放，已知该废气的污染物含量 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）与过滤时间 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的关系为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为污染物的初始含量），则污染物减少到初始含量的 $\text{[math]}$ 大约需要（参考数据： $\text{[math]}$ ）（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极小值，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 1 B . 3 C . 1或3 D . $\text{[math]}$ 或3

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，若直线 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 轴对称的直线与圆 $\text{[math]}$ 有公共点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 一项比赛共有9位评委，选手完成比赛后，每位评委现场给出一个“初始评分”，去掉一个最高分，去掉一个最低分，剩余7位评委的评分为“有效评分”．则下列叙述一定正确的是（）

A . 同一个选手的“初始评分的中位数等于”有效评分的中位数 B . 同一个选手的“初始评分”的下四分位数等于“有效评分”的下四分位数 C . 同一个选手的“初始评分”的平均数不低于“有效评分”的平均数 D . 同一个选手的“初始评分”的方差不低于“有效评分”的方差

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10. 正方体 $\text{[math]}$ 棱长为2，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，则（）

A . 当 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点时， $\text{[math]}$ 三点共线 B . 存在点 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ D . 四面体 $\text{[math]}$ 的体积为定值

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11. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，点 $\text{[math]}$ 在抛物线 $\text{[math]}$ 上，经过点 $\text{[math]}$ 且斜率大于零的直线交 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点，点 $\text{[math]}$ 在第一象限，则（）

A . $\text{[math]}$ 的准线为 $\text{[math]}$ B . 以 $\text{[math]}$ 为直径的圆经过原点 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，对于任意的 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 成立，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 一定是偶函数 D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最大值是．

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14. 第19届亚洲运动会于2023年9月23日10月8日在我国杭州成功举办，中国国家队以201金、111银、71铜的优异成绩位列奖牌榜榜首．此次亚运会的颁奖花束——“硕果累累”，由花材和花器两部分组成，如图1．其中花器的造型灵感来自中国南宋时期官窑花解，由国家级非物质文化遗产东阳木雕制作而成，可以近似看作由大、小两个圆台拼接而成的组合体，如图2．已知大圆台的两底面半径和高分别为 $\text{[math]}$ ，小圆台的两底面半径和高分别为 $\text{[math]}$ ，则该几何体的体积为 $\text{[math]}$ ．

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15. 向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的两个焦点为 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作倾斜角为 $\text{[math]}$ 的直线交椭圆于 $\text{[math]}$ 两点，若 $\text{[math]}$ 的内切圆半径 $\text{[math]}$ ，则该椭圆的离心率为．

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四、解答题

17. 图1是由正方形 $\text{[math]}$ 和正三角形 $\text{[math]}$ 组成的一个平面图形，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，如图2．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值．
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18. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且满足 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值．
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19. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．已知 $\text{[math]}$ 的面积为1．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ．
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20. 甲、乙两人玩一种游戏，游戏规则如下：放置一张纸片在地面指定位置，其中一人在固定位置投篮，若篮球被篮板反弹后击中纸片，则本次游戏成功，此人继续投篮，否则游戏失败，换为对方投篮．已知第一次投篮的人是甲、乙的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，甲、乙两人每次游戏成功的概率分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求第2次投篮的人是甲的概率；
2. （2）记第 $\text{[math]}$ 次投篮的人是甲的概率为 $\text{[math]}$ ，
  ⑴用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ；
  ⑵求 $\text{[math]}$ ．
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21. 设 $\text{[math]}$ 两点的坐标分别为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，且它们的斜率之积是 $\text{[math]}$ ，记点 $\text{[math]}$ 的轨迹为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上的一动点，直线 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ．求证：直线 $\text{[math]}$ 过定点．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为增函数，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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