一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
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1.
已知复数
是纯虚数，则实数
（ ）
-
-
3.
已知空间中点
，
， 直线
， 平面
， 若
，
，
，
， 则下列结论正确的是（ ）
A . 
B . 与
相交
C . 
D . 以上都有可能
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4.
在
中，角
，
，
所对的边分别是
，
，
， 若
，
，
， 则
（ ）
-
5.
如图，已知一个直四棱柱的侧棱长为
， 底面是对角线长分别是
和
的菱形，则这个四棱柱的侧面积是（ ）
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6.
在
中，
为边
上的任意一点，点
在线段
上，且满足
， 若
， 则
的值为（ ）
-
7.
如图，在圆
中，
， 点
，
在圆上，
， 则
的值为（ ）
-
8.
已知四棱锥
中，
平面
， 四边形
为正方形，
， 平面
过
，
，
的中点，则下列关于平面
截四棱锥
所得的截面正确的为（ ）
A . 所得截面是正五边形
B . 截面过棱
的三等分点
C . 所得截面面积为
D . 截面不经过
中点
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
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10.
在
中，角
、
、
的对边分别为
，
，
， 若
，
， 则使此三角形有两解的
的值可以是（ ）
A . 5
B . 
C . 8
D . 
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-
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
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-
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15.
已知圆柱体的底面半径为
， 高为
， 一只蜗牛从圆柱体底部开始爬行，绕圆柱体
圈到达顶部，则蜗牛爬行的最短路径长为
．
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16.
在
中，
，
，
， 对任意
， 有
恒成立，点
是直线
上，则
的最小值是
．
四、解答题（本大题共5小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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17.
已如
为虚数单位，复数
．
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（1）
当实数
取何值时，
是纯虚数；
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（2）
若
， 求
的值．
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18.
已知在
中，角
，
，
， 所对的边为
，
，
， 若
．
-
（1）
求角
的大小；
-
（2）
若
， 求
面积的最大值．
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19.
台州黄岩被誉为“模具之乡”，为市场对球形冰淇淋的需求，特地制作了一款中空的正三棱柱模具，其内壁恰好是球体的表面，且内壁与棱柱的每一个面都相切
内壁厚度忽略不计
， 店家可以将不同口味的冰淇淋放入该模具中，再通过按压的方式得到球形冰淇淋
已知该模具底部边长为
．
⑴求内壁的面积；
⑵求制作该模具所需材料的体积；
⑶求模具顶点到内壁的最短距离．
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20.
已知在
中，角
，
，
所对的边为
，
，
， 且满足
．
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（1）
判断角
与角
的关系，并说明理由；
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（2）
若
， 求
的范围．
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21.
如图，梯形
，
，
，
为
的中点，
是
上的任意一点，设
．
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（1）
当
是
的三等分点时，试用向量
，
表示向量
；
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