吉林省延边州2023届高三数学统考二模试卷

更新时间：2023-04-23 浏览次数：41 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ 的元素只有一个，则实数a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 0 C . $\text{[math]}$ 或0 D . 无解

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2. 已知复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，给出下列四个命题其中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的虚部为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知平面向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 某市在文明城市建设中，鼓励市民“读书好，好读书，读好书”．在各阅览室设立茶座，让人们在休闲中阅读有用有益图书．某阅览室为了提高阅读率，对于周末前来阅读的前三名阅读者各赠送一本图书，阅读者从四种不同的书籍中随意挑选一本，则他们有且仅有2名阅读者挑选同一种书的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. (2022高一上·南阳期中) 放射性核素锶89的质量M会按某个衰减率衰减，设其初始质量为 $\text{[math]}$ ，质量M与时间t（单位：天）的函数关系为 $\text{[math]}$ ，若锶89的质量从 $\text{[math]}$ 衰减至 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所经过的时间分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2022高二上·岳阳期中) 经过 $\text{[math]}$ 向圆 $\text{[math]}$ 作切线，切线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$

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7. 正三棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长是4，侧棱长是6， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点，若 $\text{[math]}$ 是侧面 $\text{[math]}$ 上一点，且 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则线段 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知定义在R上的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为偶函数，若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内单调递增.记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则a，b，c的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列化简正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ 的定义域为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 为增函数 B . $\text{[math]}$ 为增函数 C . $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的解集为 $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 交抛物线于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆交 $\text{[math]}$ 轴于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，设线段 $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ C . 若抛物线上存在一点 $\text{[math]}$ 到焦点 $\text{[math]}$ 的距离等于 $\text{[math]}$ ，则抛物线的方程为 $\text{[math]}$ D . 若点 $\text{[math]}$ 到抛物线准线的距离为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$

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12. 如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直， $\text{[math]}$ ， G为线段AE上的动点，则（）

A . 若G为线段AE的中点，则 $\text{[math]}$ 平面CEF B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 的最小值为48 D . 点B到平面CEF的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中，含 $\text{[math]}$ 的项的系数是．

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14. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 取最小值时a的值为．

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15. 若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处有极小值，则 $\text{[math]}$ 的值为．

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16. 已知坐标平面xOy中，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， $\text{[math]}$ 与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为 $\text{[math]}$ 的中点，点I为 $\text{[math]}$ 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心率为．

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四、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求B；
2. （2）在下面两个条件中选择一个作为已知，使 $\text{[math]}$ 存在且唯一确定，并求BC边上的中线的长度．
  ① $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ；②面积为 $\text{[math]}$ ．
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18. (2021高三上·大庆开学考) 已知等差数列 $\text{[math]}$ 中，公差 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，且存在 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 成立，
  求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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19. (2021高二上·浦城期中) 如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折起到 $\text{[math]}$ 的位置，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，如图2.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ .
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
3. （3）线段 $\text{[math]}$ 上是否存在点 $\text{[math]}$ ，使得直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值；若不存在，说明理由.
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20. 我国为全面建设社会主义现代化国家，制定了从2021年到2025年的“十四五”规划．某企业为响应国家号召，汇聚科研力量，加强科技创新，准备增加研发资金．该企业为了了解研发资金的投入额x（单位：百万元）对年收入的附加额y（单位：百万元）的影响，对往年研发资金投入额 $\text{[math]}$ 和年收入的附加额 $\text{[math]}$ 进行研究，得到相关数据如下：
投入额 $\text{[math]}$
2
3
4
5
6
8
9
11
年收入的附加额 $\text{[math]}$
3.6
4.1
4.8
5.4
6.2
7.5
7.9
9.1
【参考数据】 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
【附】在经验回归方程 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求年收入的附加额y与投入额x的经验回归方程；
2. （2）若年收入的附加额与投入额的比值大于1，则称对应的投入额为“优秀投资额”，现从上面8个投入额中任意取3个，用X表示这3个投入额为“优秀投资额”的个数，求X的分布列及数学期望．
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21. 知椭圆E： $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与椭圆的一个交点在x轴上的射影恰好为 $\text{[math]}$
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）如图，下顶点为A，过点 $\text{[math]}$ 作一条与y轴不重合的直线.该直线交椭圆E于C，D两点.直线AD，AC分别交x轴于点H， $\text{[math]}$ 求证： $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的面积之积为定值，并求出该定值.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，求a的取值范围．
2. （2）证明： $\text{[math]}$ ， n， $\text{[math]}$
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