广东省广州市四校联考2022-2023学年高二上学期数学期中...

更新时间：2022-12-29 浏览次数：73 类型：期中考试

一、单选题

1. 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3小时，这种细菌由1个可繁殖成（）

A . 511个 B . 512个 C . 1023个 D . 1024个

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2. 直线 $\text{[math]}$ 的方向向量为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 垂直，则直线 $\text{[math]}$ 的方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 设等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝（）

A . 60 B . 62 C . 63 D . 81

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4. 圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公共弦长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ ，四点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中恰有三点在椭圆 $\text{[math]}$ 上，则椭圆C的标准方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两两垂直，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 3 B . 2 C . 1 D . 0

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7. 椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点为A，点P在C上且在第二象限，点P关于x轴，y轴的对称点分别为 $\text{[math]}$ ， Q，直线 $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上满足 $\text{[math]}$ 的两个动点 $\text{[math]}$ 为坐标原点），则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . 45 B . 9 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 对于曲线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，下列说法正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 不可能是圆 B . “ $\text{[math]}$ ”是“曲线 $\text{[math]}$ 是椭圆”的充分不必要条件 C . “曲线 $\text{[math]}$ 是焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆”是“ $\text{[math]}$ ”的必要不充分条件 D . “曲线 $\text{[math]}$ 是焦点在 $\text{[math]}$ 轴上的椭圆”是“ $\text{[math]}$ ”的充要条件

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10. 已知圆M： $\text{[math]}$ ，以下四个命题表述正确的是（）

A . 若圆 $\text{[math]}$ 与圆M恰有一条公切线，则m=-8 B . 圆 $\text{[math]}$ 与圆M的公共弦所在直线为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与圆M恒有两个公共点 D . 点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，若Q $\text{[math]}$ ，则CQ的最大值为 $\text{[math]}$

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11. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则以下结论正确的为（）．

A . 数列 $\text{[math]}$ 为等差数列 B . $\text{[math]}$ C . 当 $\text{[math]}$ 取最大值时，n的值为51 D . 当数列 $\text{[math]}$ 的前n项和取得最大值时，n的值为49或51

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12. (2022高三上·临汾期中) 一般地，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ），则称 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点构成调和点列.已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点.动点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点构成调和点列，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 四点共线 B . $\text{[math]}$ C . 动点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 既有最小值又有最大值

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 方向的投影向量的坐标为．

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14. 已知圆（x+1）²+y²=1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是．

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15. 已知两个等差数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. (2022高二上·湖北期中) “蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上．称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国数学家加斯帕尔 $\text{[math]}$ 蒙日（1746-1818）最先发现．若椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点，过 $\text{[math]}$ 和原点作直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的蒙日圆相交于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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18. 已知椭圆的中心在原点，离心率为 $\text{[math]}$ ，一个焦点是 $\text{[math]}$ （m是大于0的常数）．
1. （1）求椭圆的方程；
2. （2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M．若 $\text{[math]}$ ，求直线l的斜率．
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19. 如图，已知圆 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 引圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，切点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的方程，并写出直线 $\text{[math]}$ 所经过的定点的坐标；
2. （2）求线段 $\text{[math]}$ 中点的轨迹方程；
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20. 数列 $\text{[math]}$ 中，满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ．
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且
  $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 大小
3. （3）令 $\text{[math]}$ ，证明 $\text{[math]}$ 成立.
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21. 在多面体 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 为正方形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的平面角的余弦值为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值的取值范围.
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22. 如图，中心在原点 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ，长轴长为 $\text{[math]}$ ．椭圆 $\text{[math]}$ 上有两点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，记它们的斜率为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 为一定值，并求出这个定值；
3. （3）设直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 分别与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的面积相等，求点 $\text{[math]}$ 的横坐标．
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