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北京市东城区2022年中考一模数学试题

更新时间：2022-07-07 浏览次数：142 类型：中考模拟

一、单选题

1. (2021·泸县) 下列立体图形中，主视图是圆的是（）

A . B . C . D .

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2. 国家统计局发布2021年国内生产总值达到1140000亿元，比上年增长8.1%．将1140000用科学记数法表示应为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2019·海门模拟) 如图，将一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上.若∠2＝40°，则∠1的度数是（）

A . 60° B . 50° C . 40° D . 30°

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4. 七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”．将右图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）

A . B . C . D .

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5. 五边形的内角和是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某班甲、乙、丙三位同学5次数学成绩及班级平均分的折线统计图如下，则下列判断错误的是（）

A . 甲的数学成绩高于班级平均分 B . 乙的数学成绩在班级平均分附近波动 C . 丙的数学成绩逐次提高 D . 甲、乙、丙三人中，甲的数学成绩最不稳定

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8. 将一圆柱形小水杯固定在大圆柱形容器底面中央，现用一个注水管沿大容器内壁匀速注水，如图所示，则小水杯水面的高度 $\text{[math]}$ 与注水时间 $\text{[math]}$ 的函数图象大致是（）

A . B . C . D .

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二、填空题

9. (2020八上·丰台期末) 若 $\text{[math]}$ 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．

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10. (2019·自贡) 分解因式： $\text{[math]}$ = .

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11. (2019·零陵模拟) 方程 $\text{[math]}$ 的解是．

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12. (2020·河南) 请写出一个大于1且小于2的无理数：.

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13. 北京2022年冬奥会和冬残奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”广受大家的喜爱．即将在2022年9月举行的杭州亚运会的吉祥物“宸宸”“踪踪”“莲莲”也引起了大家的关注．现将五张正面分别印有以上5个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上并洗匀，随机翻开一张正好是“冰墩墩”的概率是．

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14. 如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，则∠AOB的度数为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，则代数式 $\text{[math]}$ ．

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16. 我国古代天文学和数学著作《周髀算经》中提到：一年有二十四个节气，每个节气的晷（ɡuǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），二十四节气如图所示．从冬至到夏至晷长逐渐变小，从夏至到冬至晷长逐渐变大，相邻两个节气晷长减少或增加的量均相同，周而复始．若冬至的晷长为13.5尺，夏至的晷长为1.5尺，则相邻两个节气晷长减少或增加的量为尺，立夏的晷长为尺．

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三、解答题

17. 计算： $\text{[math]}$ ．

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18. 解不等式组 $\text{[math]}$ ．

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19. 已知：线段AB．
求作： $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
作法：
①分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，两弧交于点D；
②连接BD，在BD的延长线上截取 $\text{[math]}$ ；
③连接AC．
则 $\text{[math]}$ 为所求作的三角形．
1. （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；
2. （2）完成下面的证明．
  证明：连接AD．
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ 为等边三角形（）．（填推理的依据）
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∵ $\text{[math]}$ ，
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∴ $\text{[math]}$ ▲ （）．（填推理的依据）
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  ∴ $\text{[math]}$ ．
  在 $\text{[math]}$ 中，
  ∴ $\text{[math]}$ ．
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20. 已知关于x的一元二次方程 $\text{[math]}$ 有两个不相等的实数根．
1. （1）求k的取值范围；
2. （2）若k为正整数，且方程的两个根均为整数，求k的值及方程的两个根．
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21. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，一次函数 $\text{[math]}$ 的图象与x轴交于点A，与反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象交于点 $\text{[math]}$ ，点P为反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象上一点．
1. （1）求m，k的值；
2. （2）连接OP，AP．当 $\text{[math]}$ 时，求点P的坐标．
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22. 如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且 $\text{[math]}$ ，点E在BD上， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：四边形AECD是平行四边形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求BE的长．
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23. 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以AB为直径作 $\text{[math]}$ ，交BC于点D，交AC于点E，过点B作 $\text{[math]}$ 的切线交OD的延长线于点F．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求AE的长．
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24. 2022年是中国共产主义青年团建团100周年．某校举办了一次关于共青团知识的竞赛，七、八年级各有300名学生参加了本次活动，为了解两个年级的答题情况，从两个年级各随机抽取了20名学生的成绩进行调查分析．下面给出了部分信息：
a．七年级学生的成绩整理如下（单位：分）：
57 67 69 75 75 75 77 77 78 78 80 80 80 80 86 86 88 88 89 96
b．八年级学生成绩的频数分布直方图如下（数据分成四组： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）：
其中成绩在 $\text{[math]}$ 的数据如下（单位：分）：
80 80 81 82 83 84 85 86 87 89
c．两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
79.05
79
m
八年级
79.2
n
74
根据所给信息，解答下列问题：
1. （1） $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）估计年级学生的成绩高于平均分的人数更多；
3. （3）若成绩达到80分及以上为优秀，估计七年级和八年级此次测试成绩优秀的总人数．
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25. 某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
1. （1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．
  d/米
  0
  0.6
  1
  1.8
  2.4
  3
  3.6
  4
  h/米
  0.88
  1.90
  2.38
  2.86
  2.80
  2.38
  1.60
  0.88
  在d和h这两个变量中，是自变量，是这个变量的函数；
2. （2）在下面的平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，画出（1）中所确定的函数的图象；
3. （3）结合表格数据和函数图象，解决问题：
  ①桥墩露出水面的高度AE为米；
  ②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且 $\text{[math]}$ ，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）
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26. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与y轴交于点A．点 $\text{[math]}$ 是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线 $\text{[math]}$ 经过A，B两点．
1. （1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在抛物线上，则a b（用“<”，“=”或“>”填空）；
3. （3）若对于 $\text{[math]}$ 时，总有 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．
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27. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点（ $\text{[math]}$ ），连接BE，DE．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）过点E作 $\text{[math]}$ 交BC于点F，延长BC至点G，使得 $\text{[math]}$ ，连接DG．
  ①依题意补全图形；
  ②用等式表示BE与DG的数量关系，并证明．
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28. 对于平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中的点C及图形G，有如下定义：若图形G上存在A，B两点，使得 $\text{[math]}$ 为等腰直角三角形，且 $\text{[math]}$ ，则称点C为图形G的“友好点”．
1. （1）已知点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，在点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 中，线段OM的“友好点”是；
2. （2）直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于P，Q两点，若点 $\text{[math]}$ 为线段PQ的“友好点”，求b的取值范围；
3. （3）已知直线 $\text{[math]}$ 分别交x轴、y轴于E，F两点，若线段EF上的所有点都是半径为2的 $\text{[math]}$ 的“友好点”，直接写出d的取值范围．
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