广东省广州市八校联考2021-2022学年高一下学期数学期中...

更新时间：2022-04-27 浏览次数：95 类型：期中考试

一、单选题

1. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则在复平面内复数z对应的点Z位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. 已知向量 $\text{[math]}$ =（k，1）， $\text{[math]}$ =（3，2）， $\text{[math]}$ =（1，3），且（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，则实数k的值等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 6 D . 8

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3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ，则A=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 不等式 $\text{[math]}$ 成立的一个充分不必要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在△ABC中，D为BC上一点，满足BD=2DC，则 $\text{[math]}$ 等于（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，若向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 〈 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 〉=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 6 B . 5 C . 4 D . 1

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8. 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 所在的直线分别交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 下列命题为真命题的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ 互为共轭复数，则 $\text{[math]}$ 为实数 B . 若 $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ 为正整数，则 $\text{[math]}$ C . 复数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为虚数单位， $\text{[math]}$ 为实数）为纯虚数，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 为实数， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则“ $\text{[math]}$ ”是“复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于第四象限”的充要条件

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10. 在 $\text{[math]}$ 中各角所对得边分别为a，b，c，下列结论正确的有（）

A . $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 为等边三角形； B . 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ； C . 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则最小内角的度数为 $\text{[math]}$ ； D . 在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，解三角形有两解．

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11. 中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形三边求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即 $\text{[math]}$ ．现有△ $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，请判断下列命题正确的是（）

A . △ $\text{[math]}$ 周长为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . △ $\text{[math]}$ 的外接圆半径为 $\text{[math]}$ D . △ $\text{[math]}$ 中线 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$

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12. 如图，已知点G为 $\text{[math]}$ 的重心，点D，E分别为AB，AC上的点，且D，G，E三点共线， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，四边形BDEC的面积分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 若复数z满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 外接圆的面积为.

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15. 某热爱飞镖的小朋友用纸片折出如图所示的十字飞镖ABCDEFGH，该十字飞镖由四个全等的三角形和一个正方形组成．在△ABC中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， BC＝4，边DE上有4个不同的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体，设正方体的棱长为 $\text{[math]}$ ，则该几何体的表面积为，该几何体的体积为.

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四、解答题

17. 已知单位向量 $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，求x的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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18. (2022高三上·东莞期末) $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的周长.
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19. (2020高一下·丽水期末) 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，记函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）求函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 为偶函数，求 $\text{[math]}$ 的最小值.
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20. 如图所示是在圆锥内部挖去一正四棱柱所形成的几何体，该正四棱柱上底面的四顶点在圆锥侧面上，下底面落在圆锥底面内，已知圆锥侧面积为15π，底面半径为 $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）若正四棱柱的底面边长为 $\text{[math]}$ ，求该几何体的体积；
（Ⅱ）求该几何体内正四棱柱侧面积的最大值.

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21. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为 $\text{[math]}$ 内角A，B，C的对边，若 $\text{[math]}$ 同时满足下列四个条件中的三个：① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ .
1. （1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
2. （2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应 $\text{[math]}$ 的面积.
  （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）
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22. (2021高一下·常熟期中) 已知O为坐标原点，对于函数 $\text{[math]}$ ，称向量 $\text{[math]}$ 为函数 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量，同时称函数 $\text{[math]}$ 为向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数.
1. （1）设函数 $\text{[math]}$ ，试求 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量 $\text{[math]}$ ；
2. （2）记向量 $\text{[math]}$ 的相伴函数为 $\text{[math]}$ ，求当 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的相伴特征向量， $\text{[math]}$ ，请问在 $\text{[math]}$ 的图象上是否存在一点P，使得 $\text{[math]}$ .若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
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