浙江省湖州市三贤联盟2021-2022学年高一下学期数学期中...

更新时间：2022-04-26 浏览次数：76 类型：期中考试

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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2. (2021高一下·浙江月考) 若向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -4 B . -2 C . 2 D . 4

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3. $\text{[math]}$ 中内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 7

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4. 如图， $\text{[math]}$ 是利用斜二测画法画出的 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为直角）的直观图， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，图中 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 在向量 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 我们的数学课本《人教A版必修第二册》第121页介绍了“祖庚原理”：“幂势既同，则积不容异.”这句话的意思是：两个等高的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图将底面直径皆为 $\text{[math]}$ ，高皆为 $\text{[math]}$ 的“椭半球体”和已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面 $\text{[math]}$ 上，用平行于平面 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 任意距离 $\text{[math]}$ 处的平面截两个几何体，可横截得到一个圆面和一个圆环面，可以证明 $\text{[math]}$ 总成立.据此，当 $\text{[math]}$ 时“椭半球体”的体积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 如图是2021年9月17日13：34神舟十二号返回舱接近地面的场景.伞面是半径为 $\text{[math]}$ 的半球面，伞顶 $\text{[math]}$ 与返回舱底端 $\text{[math]}$ 的距离为半球半径的5倍，直线 $\text{[math]}$ 与水平地面垂直于 $\text{[math]}$ 和观测点 $\text{[math]}$ 在同一水平线上.在 $\text{[math]}$ 测得点 $\text{[math]}$ 的仰角 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则此时返回舱底端离地面距离 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知 $\text{[math]}$ 为正方体 $\text{[math]}$ 表面上的一个动点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 延长线上一点，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则动点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹的长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

9. 设复数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的共轭复数为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 若直线 $\text{[math]}$ 不平行于平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 内存在一条直线与 $\text{[math]}$ 平行 B . $\text{[math]}$ 内不存在与 $\text{[math]}$ 平行的直线 C . $\text{[math]}$ 内所有直线与 $\text{[math]}$ 异面 D . $\text{[math]}$ 内有无数条直线与 $\text{[math]}$ 相交

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11. $\text{[math]}$ 中内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，下列选项中能确定角 $\text{[math]}$ 为锐角的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 均为锐角，且 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ，有 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值唯一

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 一个圆柱的底面半径为2，高为3，这个圆柱的侧面积=．

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14. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ 的虚部为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.把以上文字写成公式，即 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ 为三角形的面积， $\text{[math]}$ 为三角形的三边）.在斜 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别为内角 $\text{[math]}$ 所对的边，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .则此 $\text{[math]}$ 面积的最大值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分.

17. 已知 $\text{[math]}$ 为虚数单位，实数 $\text{[math]}$ 分别取什么数值时，复数 $\text{[math]}$ 满足下列条件：
1. （1）纯虚数；
2. （2）复平面内对应的点在直线 $\text{[math]}$ 上.
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18. 已知不共线的向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 共线？若存在请求出 $\text{[math]}$ ，若不存在请说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长度.
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20. 如图所示的圆锥，顶点为 $\text{[math]}$ ，底面半径 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，用一与底面平行的平面截得一圆台，圆台的上底半径为 $\text{[math]}$ ，这个平面与母线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求圆台的体积和圆台的侧面积；
2. （2）把一根绳从线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 开始沿着侧面绕一圈到点 $\text{[math]}$ ，求这根绳最短时的长度.
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21. 为了美化城市空间，拓展市民公共活动场所，某市拟把一块直角三角形 $\text{[math]}$ 空地修建成一个“口袋公园”（指规模很小的城市户外空间）.建造时，须在公园内留出一块绿地（ $\text{[math]}$ 区域）， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ 其余区域为休闲区.
1. （1）当图中 $\text{[math]}$ 三个区域的面积相等时，求绿地区域 $\text{[math]}$ 的周长；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，为使休闲区尽量大，设 $\text{[math]}$ ，问 $\text{[math]}$ 为何值时，绿地区域 $\text{[math]}$ 的面积最小？最小面积是多少？
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22. 已知 $\text{[math]}$ 为等边三角形，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的重心.过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ .设 $\text{[math]}$ .（ $\text{[math]}$ ）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 的表达式为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在（2）的条件下，设 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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