北京市朝阳区2021届高三数学一模试卷

更新时间：2021-04-29 浏览次数：156 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . {3}

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2. 如果复数 $\text{[math]}$ 的实部与虚部相等，那么 $\text{[math]}$ （）

A . -2 B . 1 C . 2 D . 4

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3. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 0 B . -1 C . -2 D . -3

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4. 已知圆 $\text{[math]}$ 截直线 $\text{[math]}$ 所得弦的长度为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，则双曲线C的渐近线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 在 $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ 为钝角三角形”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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9. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F ，准线为l ，点P是直线l上的动点．若点A在抛物线C上，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （O为坐标原点）的最小值为（）

A . 8 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 6

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10. 在棱长为1的正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上的点，过 $\text{[math]}$ 的平面 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，当 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上运动时，平面 $\text{[math]}$ 截正方体 $\text{[math]}$ 所得的截面面积的最小值是（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 在 $\text{[math]}$ 的展开式中， $\text{[math]}$ 的系数为．（用数字作答）

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 的值域为．

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13. 已知向量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 的坐标可以是．（写出一个即可）

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14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 $\text{[math]}$ 商品获利8元．现计划在“五一”期间对 $\text{[math]}$ 商品进行广告促销，假设售出 $\text{[math]}$ 商品的件数 $\text{[math]}$ （单位：万件）与广告费用 $\text{[math]}$ （单位：万元）符合函数模型 $\text{[math]}$ ．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 $\text{[math]}$ 应投入万元．

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15. 华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设 $\text{[math]}$ 是定义在R上的函数，对于 $\text{[math]}$ ，令 $\text{[math]}$ ，若存在正整数k使得 $\text{[math]}$ ，且当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则称 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的一个周期为k的周期点．给出下列四个结论：
①若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 存在唯一一个周期为1的周期点；

②若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 存在周期为2的周期点；

③若 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 不存在周期为3的周期点；

④若 $\text{[math]}$ ，则对任意正整数n ， $\text{[math]}$ 都不是 $\text{[math]}$ 的周期为n的周期点．

其中所有正确结论的序号是．

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三、解答题

16. 已知函数 $\text{[math]}$ 由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 $\text{[math]}$ ；②最大值为2；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．
1. （1）写出能确定 $\text{[math]}$ 的三个条件，并求 $\text{[math]}$ 的解析式；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的单调递增区间．
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，O是 $\text{[math]}$ 边的中点， $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ．在底面 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值．
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18. 我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对A ， B两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取500户家庭作为样本，获得数据如下表：

	A地区	B地区
2019年人均年纯收入超过10000元	100户	150户
2019年人均年纯收入未超过10000元	200户	50户

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过10000元相互独立．

（1）从A地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，估计该家庭2019年人均年纯收入超适10000元的概率；
（2）在样本中，分别从A地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过10000元的户数，求X的分布列和数学期望；
（3）从样本中A地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过10000元．根据这个结果，能否认为样本中A地区2020年人均年纯收入超过10000元的户数相比2019年有变化？请说明理由．

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19. 已知椭圆C的短轴的两个端点分别为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆C的方程及焦点的坐标；
2. （2）若点M为椭圆C上异于A ， B的任意一点，过原点且与直线 $\text{[math]}$ 平行的直线与直线 $\text{[math]}$ 交于点P ，直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点Q ，试判断以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的单调区间；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相切，求证： $\text{[math]}$ ．
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21. 设数列 $\text{[math]}$ ，若存在公比为q的等比数列 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的“等比分割数列”．
1. （1）写出数列 $\text{[math]}$ ：3，6，12，24的一个“等比分割数列” $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，其“等比分割数列” $\text{[math]}$ 的首项为1，求数列 $\text{[math]}$ 的公比q的取值范围；
3. （3）若数列 $\text{[math]}$ 的通项公式为 $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 存在“等比分割数列”，求m的最大值．
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