辽宁省沈阳市2020-2021学年高三下学期数学质量监测试卷...

更新时间：2021-04-22 浏览次数：152 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，则复数 $\text{[math]}$ 对应的点所在的象限是（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此次活动中，某学校有2女、4男6名教师报名成为志愿者，现在有3个不同的社区需要进行普查工作，从这6名志愿者中选派3名，每人去1个小区，每个小区去1名教师，其中至少要有1名女教师，则不同的选派方案有多少种（）

A . 16种 B . 20种 C . 96种 D . 120种

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4. 甲烷是一种有机化合物，分子式是 $\text{[math]}$ 它作为燃料广泛应用于民用和工业中.近年来科学家通过观测数据，证明了甲烷会导致地球表面温室效应不断增加.深入研究甲烷，趋利避害，成为科学家面临的新课题.甲烷分子的结构为正四面体结构，四个氢原子位于正四面体的四个顶点，碳原子位于正四面体的中心，碳原子和氢原子之间形成的四个碳氢键的键长相同、键角相等.请你用学过的数学知识计算甲烷碳氢键之间夹角的余弦值（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 在矩形ABCD中，AB＝ $\text{[math]}$ ，BC＝2，点E为BC的中点，点F在CD上，若 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ ＝ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ · $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . 0 D . 1

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6. $\text{[math]}$ 技术的数学原理之一是著名的香农公式: $\text{[math]}$ .它表示:在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度 $\text{[math]}$ 取决于信道带宽 $\text{[math]}$ ，信道内信号的平均功率 $\text{[math]}$ ，信道内部的高斯噪声功率 $\text{[math]}$ 的大小，其中 $\text{[math]}$ 叫做信噪比.当信噪比较大时，公式中真数中的 $\text{[math]}$ 可以忽略不计.假设目前信噪比为 $\text{[math]}$ 若不改变带宽 $\text{[math]}$ ，而将最大信息传播速度 $\text{[math]}$ 提升 $\text{[math]}$ 那么信噪比 $\text{[math]}$ 要扩大到原来的约（）

A . 10倍 B . 20倍 C . 30倍 D . 40倍

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7. 已知随机变量 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 9 B . $\text{[math]}$ C . 4 D . 6

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ 分别是定义在 $\text{[math]}$ 上的偶函数和奇函数，且 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 有唯一零点，则正实数 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 D . 3

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二、多选题

9. 若 $\text{[math]}$ ，则使 $\text{[math]}$ 成立的充要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则下列结论中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象是由y= 2sin2 $\text{[math]}$ 的图象向左移 $\text{[math]}$ 个单位得到的 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . $\text{[math]}$ 的对称中心的坐标是 $\text{[math]}$ D . 函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内共有 $\text{[math]}$ 个零点

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的左焦点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴垂直的直线与双曲线交于 $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的有（）

A . 双曲线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ B . 双曲线 $\text{[math]}$ 的两条渐近线所成的锐角为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 到双曲线 $\text{[math]}$ 渐近线的距离为 $\text{[math]}$ D . 双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$

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12. 如图，棱长为2的正方体 $\text{[math]}$ 的内切球为球 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 和棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上移动，则下列结论成立的有（）

A . 存在点 $\text{[math]}$ 使 $\text{[math]}$ 垂直于平面 $\text{[math]}$ B . 对于任意点 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 的被球 $\text{[math]}$ 截得的弦长为 $\text{[math]}$ D . 过直线 $\text{[math]}$ 的平面截球 $\text{[math]}$ 所得的所有圆中，半径最小的圆的面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 在正项等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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15. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ ，若圆 $\text{[math]}$ 上存在一点 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ，过 $\text{[math]}$ 作抛物线的两条切线 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为切点，直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 则 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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四、解答题

17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.
① $\text{[math]}$ ;

② $\text{[math]}$

③ $\text{[math]}$ .

已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 的对应边分别为 $\text{[math]}$ ， .
1. （1）求 $\text{[math]}$ ;
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积.
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18. 已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式 $\text{[math]}$ ;
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，求使 $\text{[math]}$ 的最小的正整数 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 习近平总书记曾提出，“没有全民健康，就没有全面小康”.为响应总书记的号召，某社区开展了“健康身体，从我做起”社区健身活动.运动分为徒手运动和器械运动两大类.该社区对参与活动的 $\text{[math]}$ 人进行了调查，其中男性 $\text{[math]}$ 人，女性 $\text{[math]}$ 人，所得统计数据如下表所示:(单位:人)

性别	器械类	徒手类	合计
男性	590
女性		240
合计	900

(参考数据: $\text{[math]}$ )

附: $\text{[math]}$

$\text{[math]}$	0.050	0.025	0.010	0.005
$\text{[math]}$	3.841	5.042	7.879	60635

（1）请将题中表格补充完整，并判断能否有99%把握认为“是否选择器械类与性别有关”?
（2）为了检验活动效果，该社区组织了一次竞赛活动.竞赛包括三个项目，一个是器械类，两个是徒手类，规定参与者必需三个项日都参加.据以往经验，参赛者通过器械类竞赛的概率是 $\text{[math]}$ ，通过徒手类竞赛的概率都是 $\text{[math]}$ ，且各项目是否通过相互独立.用 $\text{[math]}$ 表示某居民在这次竞赛中通过的项目个数，求随机变量 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望.

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20. 如左图，平面四边形 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形.沿着直线 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 折起，使平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ (如右图)，已知 $\text{[math]}$ 分别是棱 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是棱 $\text{[math]}$ 上一点.
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角的正切值为 $\text{[math]}$ 时，求锐二面角 $\text{[math]}$ 的余弦值.
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，斜率为 $\text{[math]}$ 的直线与 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ ，求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）在（1）的条件下，若 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左顶点， $\text{[math]}$ 是椭圆的左焦点，要使 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为直径的圆内，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论函数 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，且关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上恒成立，其中 $\text{[math]}$ 是自然对数的底数，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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