江苏省南京市2020届高三下学期数学5月模拟考试试卷

更新时间：2020-07-08 浏览次数：135 类型：高考模拟

一、填空题

1. 设集合M＝{m|﹣3＜m＜2，m∈Z}，N＝R，则M∩N＝．

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2. 复数z $\text{[math]}$ 复平面上对应的点位于第象限．

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3. 某次测验，将20名学生平均分为两组，测验结果两组学生成绩的平均分和标准差分别为90，6；80，4．则这20名学生成绩的方差为．

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4. 执行如图所示的程序框图，输出的S值为．

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5. 抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，记底面上的数字分别为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为整数的概率是．

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6. 函数f（x）=（x﹣3）e^x的单调递增区间是

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7. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，那么此双曲线的准线方程为．

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8. 已知正四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，底面边长为2，则侧棱 $\text{[math]}$ 的长为．

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9. 已知函数 $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 则函数 $\text{[math]}$ 的最小正周期为．

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10. 已知等差数列{a_n}满足：a₁＝﹣8，a₂＝﹣6．若将a₁ ， a₄ ， a₅都加上同一个数m，所得的三个数依次成等比数列，则m的值为．

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11. 设函数 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的图象在y轴左、右两侧靠近 y轴的交点分别为 M 、 N ，已知 O 为原点，则 $\text{[math]}$ ．

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12. 设f（x）＝asin2x+bcos2x（a，b∈R），若f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ ，则a+b的取值范围为．

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13. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，且cos2B+cosB+cos（A﹣C）＝1，则a+2c的最小值为．

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14. (2016高一下·徐州期末) 已知正实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则xy的取值范围为．

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二、解答题

15. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\text{[math]}$
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，求b的值；
2. （2）当 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ 时，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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16. 如图，四棱锥A﹣BCDE中，AB、BC、BE两两垂直且AB＝BC＝BE，DE∥BC，DE＝2BC，F是AE的中点．
1. （1）求证：BF∥面ACD；
2. （2）求证：面ADE⊥面ACD．
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17. 为解决城市的拥堵问题，某城市准备对现有的一条穿城公路MON进行分流，已知穿城公路MON自西向东到达城市中心点O后转向东北方向（即 $\text{[math]}$ ）．现准备修建一条城市高架道路L，L在MO上设一出入口A，在ON上设一出入口B．假设高架道路L在AB部分为直线段，且要求市中心O与AB的距离为10km．
1. （1）求两站点A，B之间距离的最小值；
2. （2）公路MO段上距离市中心O30km处有一古建筑群C，为保护古建筑群，设立一个以C为圆心，5km为半径的圆形保护区．则如何在古建筑群C和市中心O之间设计出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不经过保护区（不包括临界状态）？
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18. 已知点M是圆C：（x+1）²+y²＝8上的动点，定点D（1，0），点P在直线DM上，点N在直线CM上，且满足 $\text{[math]}$ 2 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 0，动点N的轨迹为曲线E．
1. （1）求曲线E的方程；
2. （2）若AB是曲线E的长为2的动弦，O为坐标原点，求△AOB面积S的最大值．
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19. 设首项为a₁的正项数列{a_n}的前n项和为S_n ， q为非零常数，已知对任意正整数n，m，S_n+m＝S_m+q^mS_n总成立．
1. （1）求证：数列{a_n}是等比数列；
2. （2）若不等的正整数m，k，h成等差数列，试比较a_m^m•a_h^h与a_k^2k的大小；
3. （3）若不等的正整数m，k，h成等比数列，试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小．
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ （e是自然对数的底数）.
1. （1）若曲线 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线也是抛物线 $\text{[math]}$ 的切线，求a的值；
2. （2）若对于任意 $\text{[math]}$ 恒成立，试确定实数a的取值范围；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，是否存在 $\text{[math]}$ ，使曲线 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线斜率与 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的最小值相等？若存在，求符合条件的 $\text{[math]}$ 的个数；若不存在，请说明理由.
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21. (2016高三上·南通期中) 设矩阵A= $\text{[math]}$ ，求矩阵A的逆矩阵的特征值及对应的特征向量．

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22. 在极坐标系中，求曲线 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 对称的曲线的极坐标方程.

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23. 若关于x的不等式x²﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）＝（a﹣1） $\text{[math]}$ （b﹣1） $\text{[math]}$ 的最大值．

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24. 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成．
1. （1）求出甲考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
2. （2）若考生乙每题正确完成的概率都是 $\text{[math]}$ ，且每题正确完成与否互不影响．试从至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
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25. 已知 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）
1. （1）求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ ；
2. （2）试比较 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的大小，并说明理由．
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