江西省景德镇市2019届高三理数第二次质检试卷

更新时间：2019-07-21 浏览次数：652 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则集合 $\text{[math]}$ 中元素个数为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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2. 若 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位），则复数 $\text{[math]}$ 在复平面内对应的点所在的象限为（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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3. 袋子中有四张卡片，分别写有“瓷、都、文、明”四个字，有放回地从中任取一张卡片，将三次抽取后“瓷”“都”两个字都取到记为事件 $\text{[math]}$ ，用随机模拟的方法估计事件 $\text{[math]}$ 发生的概率.利用电脑随机产生整数0，1，2，3四个随机数，分别代表“瓷、都、文、明”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取卡片三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：

232	321	230	023	123	021	132	220	001
231	130	133	231	031	320	122	103	233

由此可以估计事件 $\text{[math]}$ 发生的概率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 设函数 $\text{[math]}$ ，若角 $\text{[math]}$ 的终边经过 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 2 D . 4

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5. 已知实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足不等式组 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的最小值为9，则实数 $\text{[math]}$ 的值等于（）

A . 3 B . 5 C . 8 D . 9

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6. 若直线 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）过点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取最小值时直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 执行如下图所示的程序框图，则输出的结果为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 4

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8. 已知正四面体 $\text{[math]}$ 的内切球的表面积为 $\text{[math]}$ ，过该四面体的一条棱以及球心的平面截正四面体 $\text{[math]}$ ，则所得截面的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 已知 $\text{[math]}$ 同时满足下列三个条件：
① $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 是偶函数：③ $\text{[math]}$ 若 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 有最小值，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知点 $\text{[math]}$ 在双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为双曲线 $\text{[math]}$ 的左右焦点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 外接圆面积与其内切圆面积之比为 $\text{[math]}$ .则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ D . 2或3

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11. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足，对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，非零实数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则下列关系式中正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的一条切线，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上一点且满足 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），若关于 $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 存在两组不同的解，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 的展开式中第5项为常数项，则该式中所有项系数的和为.

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14. 已知两个单位向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的夹角为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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15. 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为 $\text{[math]}$ .若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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16. 函数 $\text{[math]}$ 的图像经过四个象限，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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三、解答题

17. 已知首项为1的等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的等差中项.数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ .
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ .
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 夹角的余弦值，
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19. 如图甲是某商店2018年（按360天计算）的日盈利额（单位：万元）的统计图.

参考公式及数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）请计算出该商店2018年日盈利额的平均值（精确到0.1，单位：万元）：
2. （2）为了刺激消费者，该商店于2019年1月举行有奖促销活动，顾客凡购买一定金额的高品后均可参加抽奖.随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店对前5天抽奖活动的人数进行统计如下表：（ $\text{[math]}$ 表示第 $\text{[math]}$ 天参加抽奖活动的人数）
  
  $\text{[math]}$
  
  1
  
  2
  
  3
  
  4
  
  5
  
  $\text{[math]}$
  
  50
  
  60
  
  70
  
  80
  
  100
  
  经过进一步统计分析，发现 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 具有线性相关关系.
  
  （ⅰ）根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的线性回归方程 $\text{[math]}$ ：
  
  （ⅱ）该商店采取转盘方式进行抽奖（如图乙），其中转盘是个八等分的圆.每位顾客最多两次抽奖机会，若第一次抽到奖，则抽奖终止，若第一次未抽到奖，则再提供一次抽奖机会.抽到一等奖的奖品价值128元，抽到二等奖的奖品价值32元.若该商店此次抽奖活动持续7天，试估计该商店在此次抽奖活动结束时共送出价值为多少元的奖品（精确到0.1，单位：万元）？
3. （3）用（1）中的2018年日盈利额的平均值去估计当月（共31天）每天的日盈利额.若商店每天的固定支出约为1000元，促销活动日的日盈利额比平常增加20%，则该商店当月的纯利润约为多少万元？（精确到0.1，纯利润=盈利额-固定支出-抽奖总奖金数）
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20. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 两焦点，若存在直线 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 的对称点的连线恰好是圆 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 的一条直径.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）过椭圆 $\text{[math]}$ 的上顶点 $\text{[math]}$ 作斜率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的两条直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，两直线分别与椭圆交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，当 $\text{[math]}$ 时，直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若是求出该定点，若不是请说明理由.
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21. 函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上递增，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，存在 $\text{[math]}$ ，使得对任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ 恒成立，求 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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22. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 是以坐标原点 $\text{[math]}$ 为顶点，直线 $\text{[math]}$ 为准线的抛物线.以坐标原点 $\text{[math]}$ 为极点， $\text{[math]}$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系.
1. （1）分别求出直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程：
2. （2）点 $\text{[math]}$ 是曲线 $\text{[math]}$ 上位于第一象限内的一个动点，点 $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 上位于第二象限内的一个动点，且 $\text{[math]}$ ，请求出 $\text{[math]}$ 的最大值.
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ .
1. （1）解关于 $\text{[math]}$ 的不等式 $\text{[math]}$ ：
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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