2016年江苏省南通市高考数学三调试卷

更新时间：2017-01-19 浏览次数：863 类型：高考模拟

一、<b >填空题：</b>

1. 已知集合U={﹣1，0，1，2}，A={﹣1，1，2}，则∁_UA=．

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2. 已知复数z=（2﹣i）²（i为虚数单位），则z的共轭复数为．

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3. 如图是甲、乙两位同学在5次数学测试中得分的茎叶图，则成绩较稳定（方差较小）的那一位同学的方差为．

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4. 如图是一个算法流程图，则输出的S的值为．

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5. 已知正三棱柱的各条棱长均为a，圆柱的底面直径和高均为b，若它们的体积相等，则a³：b³的值为．

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6. 将一颗骰子连续抛掷2次，向上的点数分别为m，n，则点P（m，n）在直线y= $\text{[math]}$ x下方的概率为．

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7. 函数f（x）= $\text{[math]}$ 的定义域为．

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8. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\text{[math]}$ =1与抛物线y²=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．

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9. 已知两曲线f（x）=cosx，g（x）= $\text{[math]}$ sinx，x∈（0， $\text{[math]}$ ）相交于点A．若两曲线在点A处的切线与x轴分别相交于B，C两点，则线段BC的长为．

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10. 如图，已知△ABC的边BC的垂直平分线交AC于点P，交BC于点Q，若| $\text{[math]}$ |=3，| $\text{[math]}$ |=5，则（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）•（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ）的值为．

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11. 设数列{a_n}满足a₁=1，（1﹣a_n₊₁）（1+a_n）=1（n∈N⁺），则 $\text{[math]}$ 的值为．

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12. 已知函数f（x）=x²+ax（a∈R），g（x）= $\text{[math]}$ （f′（x）为f（x）的导函数），若方程g（f（x））=0有四个不等的实根，则a的取值范围是．

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13.
如图，矩形ABCD的边AB在x轴上，顶点C，D在函数y=x+ $\text{[math]}$ 的图象上．记AB=m，BC=n，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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14. 在平面直角坐标系xOy中，圆C₁：（x﹣1）²+y²=2，圆C₂：（x﹣m）²+（y+m）²=m² ．圆C₂上存在点P满足：过点P向圆C₁作两条切线PA，PB，切点为A，B，△ABP的面积为1，则正数m的取值范围是．

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二、<b >解答题</b>

15. 已知△ABC是锐角三角形，向量 $\text{[math]}$ =（cos（A+ $\text{[math]}$ ），sin（A+ $\text{[math]}$ ））， $\text{[math]}$ =（cosB，sinB），且 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．
（Ⅰ）求A﹣B的值；
（Ⅱ）若cosB= $\text{[math]}$ ，AC=8，求BC的长．

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16. 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面PAD，AB∥CD，CD=2AB=2BC，M，N分别是棱PA，CD的中点．
1. （1）求证：PC∥平面BMN；
2. （2）求证：平面BMN⊥平面PAC．
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17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\text{[math]}$ ，长轴长为4，过椭圆的左顶点A作直线l，分别交椭圆和圆x²+y²=a²于相异两点P，Q．
1. （1）若直线l的斜率为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）若 $\text{[math]}$ =λ $\text{[math]}$ ，求实数λ的取值范围．
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18. 某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．
1. （1）若窗口ABCD为正方形，且面积大于 $\text{[math]}$ m²（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
2. （2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．
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19. 已知数列{a_n}，{b_n}均为各项都不相等的数列，S_n为{a_n}的前n项和，a_n₊₁b_n=S_n+1（n∈N^•）．
1. （1）若a₁=1，b_n= $\text{[math]}$ ，求a₄的值；
2. （2）若{a_n}是公比为q的等比数列，求证：存在实数λ，使得{b_n+λ}为等比数列；
3. （3）若{a_n}的各项都不为零，{b_n}是公差为d的等差数列，求证：a₂ ， a₃ ， …，a_n…成等差数列的充要条件是d= $\text{[math]}$ ．
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20. 设函数f（x）=xe^x﹣asinxcosx（a∈R，其中e是自然对数的底数）．
1. （1）当a=0时，求f（x）的极值；
2. （2）若对于任意的x∈[0， $\text{[math]}$ ]，f（x）≥0恒成立，求a的取值范围；
3. （3）是否存在实数a，使得函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上有两个零点？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
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21. 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C的平分线交AB于点D，∠A的平分线交CD于点E．求证：AD•BC=BD•AC．

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22. 在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2=0在矩阵A= $\text{[math]}$ 对应的变换作用下得到直线x+y﹣b=0（a，b∈R），求a+b的值．

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23. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 $\text{[math]}$ （α为参数）以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．若直线l与曲线C交于A，B，求线段AB的长．

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24. 已知x＞0，y＞0，z＞0，且xyz=1，求证：x³+y³+z³≥xy+yz+xz．

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25. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y²=2px（p＞0）上一点P（ $\text{[math]}$ ，m）到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F．
1. （1）求抛物线的方程；
2. （2）若A为抛物线上一点（异于原点O），点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E．试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论．
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26. 甲，乙两人进行围棋比赛，共比赛2n（n∈N⁺）局，根据以往比赛胜负的情况知道，每局甲胜的概率和乙胜的概率均为 $\text{[math]}$ ．如果某人获胜的局数多于另一人，则此人赢得比赛．记甲赢得比赛的概率为P（n）．
1. （1）求P（2）与P（3）的值；
2. （2）试比较P（n）与P（n+1）的大小，并证明你的结论．
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