在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.

1. (2022高三上·青岛开学考) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，动圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 内切，且与圆 $\text{[math]}$ 外切，记动圆 $\text{[math]}$ 的圆心的轨迹为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
3. （2）不过圆心 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 轴垂直的直线交轨迹 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两个不同的点，连接 $\text{[math]}$ 交轨迹 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ .
  （i）若直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 为一个定点；
  （ii）若过圆心 $\text{[math]}$ 的直线交轨迹 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两个不同的点，且 $\text{[math]}$ ，求四边形 $\text{[math]}$ 面积的最小值.