2024年中考数学热点探究十四边形综合性问题

更新时间：2024-04-27 浏览次数：24 类型：二轮复习

一、选择题（每题3分，共30分）

1. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（9，0），点C的坐标为（0，3），以OA ，OC为边作矩形0ABC.动点E，F分别从点O，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA，BC向终点A，C移动.当移动时间为4秒时，AC·EF的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 15 D . 30

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2. (2019九上·长丰月考) 如图，正方形 $\text{[math]}$ 的边长为 $\text{[math]}$ ，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的方向，都以 $\text{[math]}$ 的速度运动，到达点C运动终止，连接 $\text{[math]}$ ，设运动时间为xs， $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是（）

A . B . C . D .

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3. (2023·大庆) 如图1，在平行四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，以1m/s的速度从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 的速度从点 $\text{[math]}$ 向点 $\text{[math]}$ 运动．若点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 同时出发，当点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 时，点 $\text{[math]}$ 恰好到达点 $\text{[math]}$ 处，此时两点都停止运动．图2是 $\text{[math]}$ 的面积 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 的运动时间 $\text{[math]}$ 之间的函数关系图象（点 $\text{[math]}$ 为图象的最高点），则平行四边形 $\text{[math]}$ 的面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. (2023·游仙模拟) 如图，直角三角形 $\text{[math]}$ 顶点 $\text{[math]}$ 在矩形 $\text{[math]}$ 的对角线 $\text{[math]}$ 上运动，连接 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）．

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 如图，正方形 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在边 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，且交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 至 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，有如下结论： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．上述结论中，正确的个数是（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个

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6. (2023九上·岳阳月考) 如图，已知：在直角坐标系中，有菱形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ，对角线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 点，双曲线 $\text{[math]}$ 经过 $\text{[math]}$ 点，交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ 点，且 $\text{[math]}$ ，有下列四个结论：
①双曲线的解析式为 $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ 点的坐标是 $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ．其中正确的结论有（）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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7. (2023九上·宁波期末) 如图，点O为正方形ABCD对角线BD的中点，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中①OH＝ $\text{[math]}$ BF；②∠CHF＝60°；③BC＝（2+ $\text{[math]}$ ）GH；④HF²＝HE•HB，正确结论有（）

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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8. 如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M．P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM．有下列四个结论：
①AE垂直平分DM；②PM＋PN的最小值为3 $\text{[math]}$ ；③CF²＝GE•AE；④S_△_ADM＝6 $\text{[math]}$ ．
其中正确的是（　　）

A . ①② B . ②③④ C . ①③④ D . ①③

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9. (2023九上·南山月考) 如图，在正方形ABCD中，AD＝4，E为CD中点，F为BC上的一点，且∠EAF＝45°，∠ABG＝∠DAE，连接EF，延长BG交AE于点M，交AD于点N，则以下结论；
①DE+BF＝EF②BN⊥AE③BF＝ $\text{[math]}$ ④S_△_BGF＝ $\text{[math]}$ 中正确的是（　　）

A . 1个 B . 2个 C . 3个 D . 4个

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10. (2021九下·深圳月考) 如图，点P是边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD的对角线BD上的动点，过点P分别作PE⊥BC于点E，PF⊥DC于点F，连接AP并延长，交射线BC于点H，交射线DC于点M，连接EF交AH于点G，当点P在BD上运动时（不包括B、D两点），以下结论中：①MF=MC；②AH⊥EF；③AP²=PM•PH；④EF的最小值是 $\text{[math]}$ ．其中正确结论是（）

A . ①③ B . ②③ C . ②③④ D . ②④

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二、填空题（每题3分，共15分）

11. (2024·福田模拟) 如图，已知平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（3，3），点D的坐标是（6，0），点B是x轴上一动点，过点A作AC⊥AB，垂足为A，且AC•AB＝6．当点B从坐标原点O起沿x轴向右运动到终点D时，点C运动的路径的长度是．

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12. 如图，在矩形ABCD中，BC＝2AB ，点M ， N为直线AD上的两个动点，且∠MBN＝30°，将线段BM关于BN翻折得线段BM^' ，连接CM^' ．当线段CM^'的长度最小时，∠MM'C的度数为度．

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13. (2024·南充模拟) 如图，点E是边长为8的正方形ABCD的边AD上一动点(端点A ， D除外)，以CE为边作正方形CEFG ， EF与AB交于点H ，连接BE ， BF ， BG ．下列四个结论：①BG＝DE；②∠FAB＝∠FEB；③当点E为AD中点时，H也是EF的中点；④当点E在AD边上运动时，AH有最大值为2．其中正确的结论是(填序号)．

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14. (2024九上·双流期末) 如图，面积为6的平行四边形纸片ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，按下列步骤进行裁剪和拼图：第一步，如图①，将平行四边形纸片沿对角线BD剪开，得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 纸片，再将 $\text{[math]}$ 纸片沿AE剪开（其中 $\text{[math]}$ ），得到 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 纸片；第二步，如图②，将 $\text{[math]}$ 纸片置于 $\text{[math]}$ 处（边AB与CD重合），将 $\text{[math]}$ 纸片置于 $\text{[math]}$ 处（边AD与CB重合）．则由纸片拼成的五边形CFDBG中，对角线FG的长为．

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15. (2024九上·都江堰期末) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，将矩形 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点 $\text{[math]}$ 恰好与点 $\text{[math]}$ 重合，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 上一动点，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足分别为点 $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为邻边构造平行四边形 $\text{[math]}$ ，若平行四边形 $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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三、综合题（共4题，共28分）

16. 如图1，菱形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上一动点（不与点 $\text{[math]}$ 重合），连接 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 并延长交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）填空： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示）；
2. （2）如图2，当 $\text{[math]}$ ，题干中其余条件均不变，连接 $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．
3. （3）（2）的条件下，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①若动点 $\text{[math]}$ 运动到边 $\text{[math]}$ 的中点处时， $\text{[math]}$ 的面积为．
  ②在动点 $\text{[math]}$ 的整个运动过程中， $\text{[math]}$ 面积的最大值为．
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17. (2024九下·深圳月考) 在矩形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是射线 $\text{[math]}$ 上一动点，连接 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，交直线 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）当矩形 $\text{[math]}$ 是正方形时，以点 $\text{[math]}$ 为直角顶点在正方形 $\text{[math]}$ 的外部作等腰直角三角形 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
  ①如图1，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，则线段 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的数量关系是 ▲ ，位置关系是 ▲ ；
  ②如图2，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上，①中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
2. （2）如图3，若点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 为邻边作平行四边形 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 中点，连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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18. (2024九上·金沙期末) 如图，在四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ．
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P从A点出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点B匀速运动，同时点Q从B点出发，以 $\text{[math]}$ 的速度沿 $\text{[math]}$ 向终点C匀速运动.当其中一点到达终点时，两点都停止运动，设运动时间为 $\text{[math]}$ ．
  ①当t为何值时，四边形 $\text{[math]}$ 的面积等于 $\text{[math]}$ ？
  ②当t的值为时，以B ， P ， Q三点为顶点的三角形与 $\text{[math]}$ 相似．
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19. (2024九上·锦江期末) 如图，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ 点的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，反比例函数 $\text{[math]}$ 的图象的一支分别交 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，延长 $\text{[math]}$ 交反比例函数的图象的另一支于点 $\text{[math]}$ ，已知点 $\text{[math]}$ 的纵坐标为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求反比例函数的表达式及点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）连接 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 轴上是否存在两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 的左侧 $\text{[math]}$ ，使以 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为顶点的四边形为矩形？若存在，求出矩形的周长；若不存在，说明理由．
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四、实践探究题（共5题，共47分）

20. 我们定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做“神奇四边形”．
1. （1）在我们学过的下列四边形①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，是“神奇四边形”的是（填序号）；
2. （2）如图1，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE ，过点B作BG⊥AE于点H ，交CD于点G ，连AG、EG ．
  ①求证：四边形ABEG是“神奇四边形”；
  ②如图2，点M、N、P、Q分别是AB、AG、GE、EB的中点．试判断四边形MNPQ是不是“神奇四边形”；
3. （3）如图3，点F、R分别在正方形ABCD的边AB、CD上，把正方形沿直线FR翻折，使得BC的对应边B'C'恰好经过点A ，过点A作AO⊥FR于点O ，若AB'＝2，正方形的边长为6，求线段OF的长．
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21. (2024·福田模拟) 【问题情境】
在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30°的三角板开展数学探究活动，两块三角板分别记作△ADB和△A^'D^'C，∠ADB＝∠A^'D^'C＝90°，∠B＝∠C＝30°，设AB＝2．
【操作探究】
如图1，先将△ADB和△A^'D^'C的边AD、A^'D^'重合，再将△A^'D^'C绕着点A按顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°），旋转过程中△ADB保持不动，连接BC．
1. （1）当α＝60°时，BC＝；当BC＝2 $\text{[math]}$ 时，α＝°；
2. （2）当α＝90°时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；
3. （3）如图2，取BC的中点F，将△A^'D^'C^'绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为．
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22. (2024·深圳模拟) 综合与探究．
1. （1）【特例感知】
  如图（a），E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到AF ，连接DE ， BF ．求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）【类比迁移】
  如图（b），在菱形ABCD中， $\text{[math]}$ ， P是AB的中点，将线段PA ， PD分别绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到PE ， PF ， PF交BC于点G ，连接CE ， CF ，求四边形CEGF的面积：
3. （3）【拓展提升】
  如图（c），在平行四边形ABCD中， $\text{[math]}$ 为锐角且满足 $\text{[math]}$ ． P是射线BA上一动点，点C ， D同时绕点P顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 为直角三角形时，直接写出BP的长．
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23. (2024·南山模拟) “转化”是解决数学问题的重要思想方法，通过构造图形全等或者相似建立数量关系是处理问题的重要手段．
1. （1）【问题情景】：如图 $\text{[math]}$ ，正方形 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 是线段 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的度数．
  以下是两名同学通过不同的方法构造全等三角形来解决问题的思路，
  ①小聪：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的延长线的垂线；
  ②小明：在 $\text{[math]}$ 上截取 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ；
  请你选择其中一名同学的解题思路，写出完整的解答过程．
2. （2）【类比探究】：如图 $\text{[math]}$ 点 $\text{[math]}$ 是菱形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点 $\text{[math]}$ 不与点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 重合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 顺时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的度数为 $\text{[math]}$ 用含 $\text{[math]}$ 的代数式表示 $\text{[math]}$ ．
3. （3）【学以致用】：如图 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 的条件下，连结 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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24. (2024·深圳模拟) 综合与实践

在一次综合实践活动课上，王老师给每位同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何仅通过折纸的方法来确定正方形一边上的一个三等分点.

【操作探究】

“乘风”小组的同学经过一番思考和讨论交流后，进行了如下操作：

第1步：如图1所示，先将正方形纸片ABCD对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：将BC边沿CE翻折到GC的位置；

第3步：延长EG交AD于点H，则点H为AD边的三等分点.

证明过程如下：连接CH，

∵正方形ABCD沿CE折叠，

∴∠D=∠B=∠CGH=90°， ① ，

又∵CH=CH

∴△CGH≌△CDH，

∴GH=DH.

由题意可知E是AB的中点，设AB=6（个单位），DH=x，则AE=BE=EG=3，

在Rt△AEH中，可列方程： ② ，（方程不要求化简）解得：DH= ③ ，即H是AD边的三等分点.

“破浪”小组是这样操作的：

第1步：如图2所示，先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为EF；

第2步：再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为AC，沿DE翻折得折痕DE交AC于点G；

第3步：过点G折叠正方形纸片ABCD，使折痕MNIIAD.

【过程思考】

（1） “乘风”小组的证明过程中，三个空的所填的内容分别是： ①，②：，③：；
（2）结合“破浪”小组操作过程，判断点M是否为AB边的三等分点，并证明你的结论；
（3）【拓展提升】如图3，在菱形ABCD中，AB=5，BD=6，E是BD上的一个三等分点，记点D关于AE的对称点为D'，射线ED'与菱形ABCD 的边交于点F，请直接写出D'F的长.

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试卷信息

小学

初中

高中