一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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1.
有一组样本数据9,4,5,7,8,2,则样本中位数为( )
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
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2.
已知
为等差数列,若m,n,p,q是正整数,则
是
的( )
A . 充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C . 充要条件
D . 既不充分不必要条件
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3.
每袋食盐的标准质量为500克,现采用自动流水线包装食盐,抽取一袋食盐检测,它的实际质量与标准质量存在一定的误差,误差值为实际质量减去标准质量.随机抽取100袋食盐,检测发现误差X(单位:克)近似服从正态分布
,
, 则X介于-2~2的食盐袋数大约为( )
A . 4
B . 48
C . 50
D . 96
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4.
若
,
是夹角为60°的两个单位向量,则向量
与
的夹角为( )
A . 30°
B . 60°
C . 90°
D . 120°
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A . -1
B . 0
C .
D . 1
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6.
若复数z满足
, 则
的最小值为( )
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7.
已知点
在双曲线
上,过点P作双曲线的渐近线的垂线,垂足分别为A,B,若
,
, 则
( )
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8.
在
中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若
,
, 则( )
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
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11.
甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球,这些球除颜色外完全相同.把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作,重复n次操作后,甲口袋中恰有0个红球,1个红球,2个红球分别记为事件
,
,
, 则( )
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
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13.
在平面直角坐标系xOy中,椭圆
的左焦点为F,点P在椭圆上,PF的中点为Q,若
,
, 则椭圆离心率的值为
.
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14.
将“用一条线段联结两个点”称为一次操作,把操作得到的线段称为“边”.若单位圆上n个颜色各不相同的点经过k次操作后,从任意一点出发,沿着边可以到达其他任意点,就称这n个点和k条边所构成的图形满足“条件T”,并将所有满足“条件T”的图形个数记为
, 则
.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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15.
已知函数
,
.
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(1)
若函数在点
处的切线过原点,求实数a的值;
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16.
某游戏设置了两套规则,规则A:抛掷一颗骰子n次,若n次结果向上的点数之和大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷;规则B:抛掷一颗骰子一次,结果向上的点数大于2时,继续下一次抛掷,否则停止抛掷.
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(2)
若执行规则B,证明:抛掷次数的数学期望不大于3.
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17.
如图,在四棱锥
中,底面ABCD是菱形,
,
为等边三角形,点M,N分别为AB,PC的中点.
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(1)
证明:直线
平面PAD;
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(2)
当二面角
为120°时,求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值.
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18.
已知抛物线E:
, 焦点为F,过F作y轴的垂线
, 点P在x轴下方,过点P作抛物线E的两条切线
,
,
,
分别交x轴于A,B两点,
,
分别交
于C,D两点.
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(1)
若
,
与抛物线E相切于C,D两点,求点P的坐标;
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(2)
证明:
的外接圆过定点;
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(3)
求
面积S的最小值.
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(1)
已知
,
①若 , 求;
②若关于m的不等式的解集为M,集合M中的最小元素为8,求的取值范围;
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(2)
若
, 是否存在正整数
, 使得
, 若存在,求出k的最小值,若不存在,请说明理由.