湖南省永州市2024届高三上学期1月第二次模拟考试数学试题

更新时间：2024-04-08 浏览次数：20 类型：高考模拟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知 $\text{[math]}$ ，则z的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的投影向量为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 已知函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 若正四棱锥的侧面三角形底角的正切值为2，则侧面与底面的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为F，过点F且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l交C于A，B两点，点M在C的准线上， $\text{[math]}$ 、若 $\text{[math]}$ 的面积为32，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 2 C . $\text{[math]}$ D . 4

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7. 在 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的图象是中心对称图形 B . $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增 C . 若方程 $\text{[math]}$ 有三个解， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若方程 $\text{[math]}$ 有四个解，则 $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。

9. 下列结论正确的是（）

A . 已知样本数据 $\text{[math]}$ 的方差为2，则数据 $\text{[math]}$ 的方差为4 B . 已知概率 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 样本数据6，8，8，8，7，9，10，8的第75百分位数为8.5 D . 已知 $\text{[math]}$ （a，b为有理数），则 $\text{[math]}$

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10. 若圆锥侧面展开图是一个半径为2的半圆，则（）

A . 该圆锥的母线与底面所成的角为 $\text{[math]}$ B . 该圆锥的体积为 $\text{[math]}$ C . 该圆锥的内切球的体积为 $\text{[math]}$ D . 该圆锥的外接球的表面积为 $\text{[math]}$

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11. 已知定义域为 $\text{[math]}$ 的函数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的导函数，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 为奇函数 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率为7 C . $\text{[math]}$ D . 对 $\text{[math]}$

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12. 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，已知曲线 $\text{[math]}$ ，与圆 $\text{[math]}$ 相切的直线l交 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 于P，Q两点，点M，N分别是曲线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 的最小值为2 C . $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ D . O点到直线MN的距离为 $\text{[math]}$

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三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 已知 $\text{[math]}$ 为第二象限角， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为．

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 有一个极值点为零点，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项的和．
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18. 记 $\text{[math]}$ 三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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19. 如图所示，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，平面 $\text{[math]}$ 平面ABC，点F为BD的中点．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， AF与平面ABE所成角的正弦值为 $\text{[math]}$ ，求四棱锥 $\text{[math]}$ 的体积．
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20. 在某网络平台组织的禁毒知识挑战赛中，挑战赛规则如下：每局回答3道题，若回答正确的次数不低于2次，该局得3分，否则得1分，每次回答的结果相互独立．已知甲、乙两人参加挑战赛，两人答对每道题的概率均为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若甲参加了3局禁毒知识挑战赛，设甲得分为随机变量X，求X的分布列与期望；
2. （2）若甲参加了 $\text{[math]}$ 局禁毒知识挑战赛，乙参加了 $\text{[math]}$ 局禁毒知识挑战赛，记甲在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，乙在禁毒知识挑战赛中获得的总分大于 $\text{[math]}$ 的概率为 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ 与，左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点D为线段 $\text{[math]}$ 的中点，过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ 的直线l交C于M，N两点． $\text{[math]}$ 的面积最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求C的方程；
2. （2）设直线MD，ND分别交C于点P，Q，直线PQ的斜率为 $\text{[math]}$ ，是否存在实数 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ 的值：若不存在，请说明理由．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，求实数a的取值范围；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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