北京市八一重点学校2023-2024学年高二上学期数学12月...

更新时间：2024-03-16 浏览次数：13 类型：月考试卷

一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.

1. (2019高二上·龙江月考) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 到椭圆一个焦点的距离为7，则 $\text{[math]}$ 到另一焦点的距离为（）

A . 2 B . 3 C . 5 D . 7

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2. (2022高三上·赣州月考) 已知 $\text{[math]}$ 是平面内两个不同的定点， $\text{[math]}$ 为平面内的动点，则“ $\text{[math]}$ 的值为定值 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ”是“点 $\text{[math]}$ 的轨迹是双曲线”的（）

A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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3. 直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 的公共点个数为（）

A . $\text{[math]}$ 个 B . $\text{[math]}$ 个 C . $\text{[math]}$ 个 D . $\text{[math]}$ 个或 $\text{[math]}$ 个

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4. (2021高二下·浙江开学考) 在四面体 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 为棱 $\text{[math]}$ 的中点. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么向量 $\text{[math]}$ 用基底 $\text{[math]}$ 可表示为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知点 $\text{[math]}$ ，若线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线的方程是 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 3 D . 1

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6. 如图，在正三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. (2021·安徽模拟) 已知F为椭圆C： $\text{[math]}$ =1(a>b>0)的右焦点，O为坐标原点，P为椭圆C上一点，若|OP|=|OF|，∠POF=120°，则椭圆C的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ -1 D . $\text{[math]}$ -1

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8. 如图，正方体 $\text{[math]}$ 的棱长为4，动点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ ，动点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，则三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积（）

A . 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位置有关 B . 与点 $\text{[math]}$ 位置有关 C . 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位置有关 D . 与点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 位置均无关，是定值

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9. (2013·浙江理)
如图F₁、F₂是椭圆C₁： $\text{[math]}$ +y²=1与双曲线C₂的公共焦点，A、B分别是C₁、C₂在第二、四象限的公共点，若四边形AF₁BF₂为矩形，则C₂的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知点集 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 取遍任何实数时， $\text{[math]}$ 所扫过的平面区域面积是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. (2017高一下·河北期末) 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为．

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12. (2021高二上·葫芦岛月考) 若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 平行，则 $\text{[math]}$ .

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13. 若直线过点 $\text{[math]}$ 且与双曲线 $\text{[math]}$ 仅有一个公共点，则这样的直线有条

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14. (2018·上饶模拟) 已知AB为圆O： $\text{[math]}$ 的直径，点P为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点，则 $\text{[math]}$ 的最小值为．

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15. 2021年3月30日，我国某公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新 $\text{[math]}$ .据了解，新 $\text{[math]}$ 将原本方正的橙色边框换成了圆角边框.这种由方到圆的弧度变化，为公司的文化融入了东方哲学的思想，赋予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线 $\text{[math]}$ ，请将说法正确的序号填在横线上.
①对任意的 $\text{[math]}$ ，曲线 $\text{[math]}$ 总关于原点成中心对称；
②当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 总过四个整点（横､纵坐标都为整数的点）；
③当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 围成图形的面积最大值为2；
④当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 上的点到原点距离的最小值为2.

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三、解答题：本大题共4小题，共45分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 交椭圆 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ 两点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点坐标及长轴长；
2. （2）求以线段 $\text{[math]}$ 为直径的圆的方程.
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17. (2022高二上·芜湖期中) 已知点 $\text{[math]}$ ，动点P 满足：|PA|=2|PB|．
1. （1）若点P的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ ，求此曲线的方程；
2. （2）若点Q在直线l_1：x+y+3=0上，直线l₂经过点Q且与曲线 $\text{[math]}$ 只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
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18. 如图，四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是以 $\text{[math]}$ 为斜边的等腰直角三角形，且面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）求二面角 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，判断点 $\text{[math]}$ 是否在平面 $\text{[math]}$ 内，并证明结论.
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19. (2023·大理模拟) 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，左顶点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，离心率为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 过椭圆右焦点 $\text{[math]}$ 且与椭圆交于 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
  ①求证： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点的纵坐标之积为定值；
  ②求 $\text{[math]}$ 面积的最小值．
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