2013年全国高考理数真题试卷（大纲卷）

更新时间：2016-10-19 浏览次数：649 类型：高考真卷

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为（　　）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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2. $\text{[math]}$ =（）

A . ﹣8 B . 8 C . ﹣8i D . 8i

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3. 已知向量 $\text{[math]}$ =（λ+1，1）， $\text{[math]}$ =（λ+2，2），若（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）⊥（ $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ ），则λ=（）

A . ﹣4 B . ﹣3 C . ﹣2 D . ﹣1

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4. 已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x+1）的定义域为（）

A . （﹣1，1） B . $\text{[math]}$ C . （﹣1，0） D . $\text{[math]}$

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5. 函数f（x）=log₂（1+ $\text{[math]}$ ）（x＞0）的反函数f^﹣¹（x）=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2^x﹣1（x∈R） D . 2^x﹣1（x＞0）

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6. 已知数列{a_n}满足3a_n+1+a_n=0，a₂=﹣ $\text{[math]}$ ，则{a_n}的前10项和等于（）

A . ﹣6（1﹣3^﹣¹⁰） B . $\text{[math]}$ C . 3（1﹣3^﹣¹⁰） D . 3（1+3^﹣¹⁰）

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7. （1+x）³（1+y）⁴的展开式中x²y²的系数是（）

A . 5 B . 8 C . 12 D . 18

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8. 椭圆C： $\text{[math]}$ 的左、右顶点分别为A₁、A₂ ，点P在C上且直线PA₂斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA₁斜率的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若函数f（x）=x²+ax+ $\text{[math]}$ 是增函数，则a的取值范围是（）

A . [﹣1，0] B . [﹣1，∞] C . [0，3] D . [3，+∞]

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10. 已知正四棱柱ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，则CD与平面BDC₁所成角的正弦值等于（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，点M（﹣2，2），过点F且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则k=（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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12. 已知函数f（x）=cosxsin2x，下列结论中错误的是（）

A . y=f（x）的图象关于（π，0）中心对称 B . y=f（x）的图象关于x= $\text{[math]}$ 对称 C . f（x）的最大值为 $\text{[math]}$ D . f（x）既是奇函数，又是周期函数

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二、填空题

13. 已知α是第三象限角，sinα=﹣ $\text{[math]}$ ，则cotα=．

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14. 6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种．（用数字作答）

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15. (2016高二下·佛山期末) 记不等式组 $\text{[math]}$ 所表示的平面区域为D．若直线y=a（x+1）与D有公共点，则a的取值范围是．

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16. 已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径， $\text{[math]}$ ，则球O的表面积等于．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ．已知S₃=a₂² ，且S₁ ， S₂ ， S₄成等比数列，求{a_n}的通项式．

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18. 设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．
1. （1）求B．
2. （2）若sinAsinC= $\text{[math]}$ ，求C．
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19. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，BC=2AD，△PAB与△PAD都是等边三角形．
1. （1）证明：PB⊥CD；
2. （2）求二面角A﹣PD﹣C的大小．
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20. 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为 $\text{[math]}$ ，各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判．
1. （1）求第4局甲当裁判的概率；
2. （2） X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望．
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21. 已知双曲线C： $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁ ， F₂ ，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求a，b；
2. （2）设过F₂的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF₁|=|BF₁|，证明：|AF₂|、|AB|、|BF₂|成等比数列．
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若x≥0时，f（x）≤0，求λ的最小值；
2. （2）设数列{a_n}的通项a_n=1+ $\text{[math]}$ ．
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