江苏省常熟市2023-2024学年高二上学期数学期中试卷

更新时间：2024-01-08 浏览次数：22 类型：期中考试

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设 $\text{[math]}$ 是等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 36 B . 45 C . 54 D . 63

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2. 圆 $\text{[math]}$ 的圆心到直线 $\text{[math]}$ 的距离为（）

A . 0 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 77 B . 78 C . 79 D . 80

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4. 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若两条直线平行，则实数 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 1 C . 3 D . $\text{[math]}$ 或3

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5. 若直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 有两个不同的交点，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心（三边中垂线的交点）、重心（三边中线的交点）、垂心（三边高的交点）依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知 $\text{[math]}$ 的顶点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则该三角形的欧拉线方程为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ 为其前 $\text{[math]}$ 项和，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 已知正方形 $\text{[math]}$ 的边长为2，点 $\text{[math]}$ 在以 $\text{[math]}$ 为圆心，1为半径的圆上，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 下列说法正确的是（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ B . 经过点 $\text{[math]}$ ，且在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 轴上截距互为相反数的直线方程为 $\text{[math]}$ C . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间的距离是 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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10. 下列命题中，正确的有（）

A . 数列 $\text{[math]}$ 中，“ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）”是“ $\text{[math]}$ 是公比为2的等比数列”的必要不充分条件 B . 数列 $\text{[math]}$ 的通项为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为单调递增数列，则 $\text{[math]}$ C . 等比数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是方程 $\text{[math]}$ 的两根，则 $\text{[math]}$ D . 等差数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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11. 已知圆 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在直线 $\text{[math]}$ 上运动，直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别与圆 $\text{[math]}$ 切于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下列说法正确的是（）

A . 四边形 $\text{[math]}$ 的面积最小值为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ 最短时，弦 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 最短时，弦 $\text{[math]}$ 直线方程为 $\text{[math]}$ D . 直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$

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12. 意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数组成的数列 $\text{[math]}$ 称为斐波那契数列，现将 $\text{[math]}$ 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 过点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆心在直线 $\text{[math]}$ 上的圆的标准方程为．

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14. 点 $\text{[math]}$ 关于直线 $\text{[math]}$ 的对称点的坐标为．

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15. 设 $\text{[math]}$ ，过定点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 和过定点 $\text{[math]}$ 的动直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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16. 设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．则使不等式 $\text{[math]}$ 对任意正整数 $\text{[math]}$ 都成立的最大实数 $\text{[math]}$ 的值为．

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四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. 在 $\text{[math]}$ 中，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 边上的中线所在直线的方程为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 的倾斜角为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求点 $\text{[math]}$ 的坐标；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 轴的正半轴、 $\text{[math]}$ 轴的正半轴分别交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）面积的最小值．
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18. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ．
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19. 已知 $\text{[math]}$ 的三个顶点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 外接圆 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点，且 $\text{[math]}$ ，求直线 $\text{[math]}$ 的方程．
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20. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，公差 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 成等比数列．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设 $\text{[math]}$ 是首项为1，公比为3的等比数列，
  ①求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ ；
  ②若不等式 $\text{[math]}$ 对一切 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的最大值．
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21. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 是公比为 $\text{[math]}$ 的等比数列，它的前 $\text{[math]}$ 项和记为 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，且存在不小于3的正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求证：数列 $\text{[math]}$ 是等差数列；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，是否存在正整数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ？若存在，求出 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的值；若不存在，请说明理由．
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22. 已知线段 $\text{[math]}$ 的端点 $\text{[math]}$ 的坐标是 $\text{[math]}$ ，端点 $\text{[math]}$ 的运动轨迹是曲线 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 的中点 $\text{[math]}$ 的轨迹方程是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知斜率为 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ （异于原点 $\text{[math]}$ ）直线 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的斜率分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，
  ①证明：直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，并求出点 $\text{[math]}$ 的坐标；
  ②若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为垂足，证明：存在定点 $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ 为定值．
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