广东省广州市越秀区2023-2024学年高三上学期数学10月...

更新时间：2023-12-16 浏览次数：21 类型：月考试卷

一、单选题

1. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知长方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，则 $\text{[math]}$ （）

A . 7 B . 8 C . 9 D . 10

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4. 若 $\text{[math]}$ 为奇函数，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . 0 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知椭圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，若椭圆上存在点 $\text{[math]}$ ，使得线段 $\text{[math]}$ 被直线 $\text{[math]}$ 垂直平分，则椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 设函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案.图形的作法是从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一个“雪花”状的图案.设原正三角形（图①）的边长为1，把图①、②、③、④……中图形的周长依次记为 $\text{[math]}$ ，得到数列 $\text{[math]}$ .设数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 时，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）
（参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

A . 5 B . 8 C . 10 D . 12

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二、多选题

9. 已知函数 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 有两个极值点 B . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 处的切线方程为 $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的值域为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，方程 $\text{[math]}$ 有且仅有一解

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10. 已知三棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，面 $\text{[math]}$ 面 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 中点， $\text{[math]}$ 与面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . 点 $\text{[math]}$ 到面 $\text{[math]}$ 的距离为 $\text{[math]}$ C . 三棱锥的侧面积为 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角为 $\text{[math]}$

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11. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点 $\text{[math]}$ 到准线的距离为2，过点 $\text{[math]}$ 的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A . 此抛物线上与焦点 $\text{[math]}$ 的距离等于3的点的坐标是 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ，则点 $\text{[math]}$ 到 $\text{[math]}$ 轴的距离为3 C . $\text{[math]}$ 是准线上一点， $\text{[math]}$ 是直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的一个交点，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 已知函数 $\text{[math]}$ 是定义域为 $\text{[math]}$ 的偶函数， $\text{[math]}$ 是奇函数，则下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是以4为周期的函数 D . $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称

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三、填空题

13. 记 $\text{[math]}$ 为等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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14. 二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中 $\text{[math]}$ 的系数为.（用数字作答）

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15. 已知圆锥的底面半径为2，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为1，则圆台的体积为.

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四、双空题

16. 函数 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 的图象上所有的点纵坐标保持不变横坐标变为原来的 $\text{[math]}$ 倍，然后将所得图象向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到函数 $\text{[math]}$ ，则化简后 $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内恰有4个零点，则 $\text{[math]}$ 的取值范围是.

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五、解答题

17. 在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是边 $\text{[math]}$ 上的点，
1. （1）若 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值.
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18. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，底面 $\text{[math]}$ 为梯形，其中 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点.
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值.
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19. 已知函数 $\text{[math]}$
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）证明：当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ .
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六、证明题

20. 已知数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
1. （1）记 $\text{[math]}$ ，求证： $\text{[math]}$ 为等比数列；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若不等式 $\text{[math]}$ 恒成立，求实数 $\text{[math]}$ 的取值范围.
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七、解答题

21. 为了保障学生的饮食安全和健康，学校对饭堂硬件和菜品均进行了改造升级，改造升级后的饭堂菜品受到了很多学生的欢迎，因此在学校饭堂就餐成为了很多学生的就餐选择.现将一周内在饭堂就餐超过3次的学生认定为“喜欢饭堂就餐”，不超过3次的学生认定为“不喜欢饭堂就餐”.学校为了解学生饭堂就餐情况，在校内随机抽取了100名学生，统计数据如下：
性别
饭堂就餐
合计
喜欢饭堂就餐
不喜欢饭堂就餐
男生
40
10
50
女生
20
30
50
合计
60
40
100
1. （1）依据小概率值 $\text{[math]}$ 的独立性检验，分析学生喜欢饭堂就餐是否与性别有关.
2. （2）该校小林同学逢星期三和星期五都在学校饭堂就餐，且星期三会从①号、②号两个套餐中随机选择一个套餐，若星期三选择了①号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为0.8；若星期三选择了②号套餐，则星期五选择①号套餐的概率为 $\text{[math]}$ ，求小林同学星期五选择②号套餐的概率.
3. （3）用频率估计概率，从该校学生中随机抽取10名，记其中“喜欢饭堂就餐”的人数为 $\text{[math]}$ ，事件“ $\text{[math]}$ ”的概率为 $\text{[math]}$ ，求使 $\text{[math]}$ 取得最大值时 $\text{[math]}$ 的值.
  参考公式： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ .
  $\text{[math]}$
  0.1
  0.05
  0.01
  0.005
  0.001
  $\text{[math]}$
  2.706
  3.841
  6.635
  7.879
  10.828
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22. 在一张纸上有一个圆 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ ，圆心为点 $\text{[math]}$ ，定点 $\text{[math]}$ ，折叠纸片使圆 $\text{[math]}$ 上某一点 $\text{[math]}$ 好与点 $\text{[math]}$ 重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕 $\text{[math]}$ ，设折痕 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求出点 $\text{[math]}$ 的轨迹 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）若过点 $\text{[math]}$ 且斜率为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ）的直线 $\text{[math]}$ 交曲线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 轴上一点，满足 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由
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