【备考2024】高考数学（三角函数版块）细点逐一突破训练：两...

更新时间：2023-08-18 浏览次数：17 类型：二轮复习

一、选择题

1. (2020·新课标Ⅲ·理) 已知2tanθ–tan(θ+ $\text{[math]}$ )=7，则tanθ=（）

A . –2 B . –1 C . 1 D . 2

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2. (2023·上虞模拟) 已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点，点 $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一点，点 $\text{[math]}$ 关于 $\text{[math]}$ 平分线的对称点 $\text{[math]}$ 也在椭圆 $\text{[math]}$ 上，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 的周长为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 平分线的斜率为 $\text{[math]}$ D . 椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$

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3. (2023高三下·杭州模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 的两根，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . 4 C . -12 D . $\text{[math]}$

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4. (2023·潮州模拟) 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -3 B . 3 C . -2 D . 2

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5. (2023·宜宾模拟) 四边形 $\text{[math]}$ 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. (2023·蚌埠模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -2 D . 2

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7. (2023·南通模拟) 1471年米勒提出了一个问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆看上去最长 $\text{[math]}$ 即可见角最大 $\text{[math]}$ 后人称其为“米勒问题”.我们把地球表面抽象为平面 $\text{[math]}$ ，悬杆抽象为直线l上两点A， $\text{[math]}$ ，则上述问题可以转化为如下模型：如图1，直线l垂直于平面 $\text{[math]}$ ， l上的两点A，B位于平面 $\text{[math]}$ 同侧，求平面上一点C，使得 $\text{[math]}$ 最大.建立图2所示的平面直角坐标系.设 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 最大时， $\text{[math]}$ （）

A . 2ab B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . ab

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8. (2023高三下·黔东南模拟) 如图，在正方形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 上的点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. (2023·广西模拟) 唐代数学家､天文学家僧一行，利用“九服晷影算法”建立了从0°到80°的晷影长 $\text{[math]}$ 与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 的对应数表.已知晷影长 $\text{[math]}$ ､表高h与太阳天顶距 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，记太阳天顶距为75°时晷影长为 $\text{[math]}$ ，太阳天顶距为45°时晷影长为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. (2023·昆明模拟) 对于函数 $\text{[math]}$ ，若存在两个常数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，使得 $\text{[math]}$ ，则称函数 $\text{[math]}$ 是“ $\text{[math]}$ 函数”，则下列函数能被称为“ $\text{[math]}$ 函数”的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. (2023·昭通模拟) $\text{[math]}$ 的值为（）

A . -1 B . 1 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

12. (2020·浙江) 已知tanθ＝2，则cos2θ＝；tan（θ﹣ $\text{[math]}$ ）＝．

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13. (2018·全国Ⅱ卷文) 已知 $\text{[math]}$ ，则tan $\text{[math]}$ =

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14. (2017·江苏) 若tan（α﹣ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ．则tanα=．

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15. (2013·新课标Ⅱ卷理) 设θ为第二象限角，若 $\text{[math]}$ ，则sinθ+cosθ=．

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16. (2022·吉林模拟) 已知函数 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象上不同的两个点，则 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为坐标原点）的取值范围是.

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17. (2023·东方模拟) 《九章算术》是我国古代著名数学经典，其对勾股定理的论述比西方早一千多年.其中有这样一个问题：“今有勾三步，股四步，间勾中容方几何？"其意思为：今有直角三角形 $\text{[math]}$ ，勾 $\text{[math]}$ （短直角边）长3步，股 $\text{[math]}$ （长直角边）长为4步，问该直角三角形能容纳的正方形 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上）边长为多少？在求得正方形 $\text{[math]}$ 的边长后，可进一步求得 $\text{[math]}$ 的正切值为.

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18. (2022·泰安模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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19. (2022·秦皇岛二模) 已知 $\text{[math]}$ 为锐角，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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20. (2022·湛江模拟) 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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21. (2022·平凉模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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22. (2022·云南模拟) 在锐角三角形 $\text{[math]}$ 中，D是线段 $\text{[math]}$ 上的一点，且满足 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值是.

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23. (2022·江门模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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24. (2021·邵阳模拟) 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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25. (2021·浙江模拟) 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

26. (2023·上虞模拟) 在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最大值.
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27. (2023·模拟) 如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角的正切值为 $\text{[math]}$ （即 $\text{[math]}$ ），已知两座高塔的高AD为30m，BC为60m，塔底A，B在同一水平面上，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求两座高塔底部A，B之间的距离；
2. （2）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求 $\text{[math]}$ 最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果?
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28. (2023·潍坊模拟) 在① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.
问题：在 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ 所对的边分别为 $\text{[math]}$ ，且____.
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，且角 $\text{[math]}$ 有两解，求 $\text{[math]}$ 的范围.
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29. (2023·合肥模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求A的大小；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 取得最大值时，试判断 $\text{[math]}$ 的形状．
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30. (2021高三上·济宁期末) 如图，扇形 $\text{[math]}$ 区域（含边界）是一风景旅游区，其中P，Q分别在公路OA和OB上．经测得，扇形 $\text{[math]}$ 区域的圆心角 $\text{[math]}$ ，半径为5千米．为了方便旅游参观，打算在扇形 $\text{[math]}$ 区域外修建一条公路 $\text{[math]}$ ，分别与OA和OB交于M，N两点，并且MN与 $\text{[math]}$ 相切于点S（异于点P，Q），设 $\text{[math]}$ （弧度），将公路 $\text{[math]}$ 的长度记为 $\text{[math]}$ （单位：千米），假设所有公路的宽度均忽略不计．
1. （1）将y表示为 $\text{[math]}$ 的函数，并写出 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）求y的最小值，并求此时 $\text{[math]}$ 的值．
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31. (2022高三上·宝山模拟) 吴淞口灯塔 $\text{[math]}$ 采用世界先进的北斗卫星导航遥测遥控系统，某校数学建模小组测量其高度 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ，如示意图，垂直放置的标杆 $\text{[math]}$ 的高度 $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 在同一直线上，也在同一水平面上，仰角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .（本题的距离精确到 $\text{[math]}$
1. （1）该小组测得 $\text{[math]}$ ､ $\text{[math]}$ 的一组值为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，请据此计算 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到灯塔的距离 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ，使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之差较大，可以提高测量精确度.若灯塔的实际高度为 $\text{[math]}$ ，试问 $\text{[math]}$ 为多少时， $\text{[math]}$ 最大？
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32. (2022·普陀模拟) 如图所示，边长为2（百米）的正方形 $\text{[math]}$ 区域是某绿地公园的一个局部，环线 $\text{[math]}$ 是修建的健身步道（不计宽度），其中弯道段 $\text{[math]}$ 是抛物线的一段，该抛物线的对称轴与 $\text{[math]}$ 平行，端点 $\text{[math]}$ 是该抛物线的顶点且为 $\text{[math]}$ 的中点，端点 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ 长为 $\text{[math]}$ （百米），建立适当的平面直角坐标系，解决下列问题.
1. （1）求弯道段 $\text{[math]}$ 所确定的函数 $\text{[math]}$ 的表达式；
2. （2）绿地管理部门欲在弯道段 $\text{[math]}$ 上选取一点 $\text{[math]}$ 安装监控设备，使得点 $\text{[math]}$ 处监测 $\text{[math]}$ 段的张角 $\text{[math]}$ 最大，求点 $\text{[math]}$ 的坐标.
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33. (2021·和平模拟) 已知 $\text{[math]}$ 中，角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
（Ⅰ）求 $\text{[math]}$ 的长；

（Ⅱ）求 $\text{[math]}$ 的值；

（Ⅲ）求 $\text{[math]}$ 的值.

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34. (2021·浙江模拟) 在三角形中，∠A、∠B、∠C分别对应的边为a，b，c，且满足关系式为： $\text{[math]}$
1. （1）求∠C的的大小；
2. （2）若c=2，求 $\text{[math]}$ 的取值范围
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35. (2021·湖南模拟) 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ .
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