一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
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2.
复数z满足
(i为虚数单位),则复数z的共轭复数是( )
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A . -1
B . 0
C . 1
D . 任意实数
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4.
函数
的大致图象为( )
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5.
圆锥的母线长为4,侧面积是底面积的
倍,过圆锥的两条母线作圆锥的截面,则该截面面积的最大值是( )
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6.
中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱,假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验,三舱中每个舱至少一人至多二人,则甲乙不在同一实验舱的种数有( )
A . 60
B . 66
C . 72
D . 80
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8.
已知
,
为椭圆
的左、右焦点,过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A,若
,
, 则椭圆C的方程为( )
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分.
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9.
在某次高中学科竞赛中,4000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中数据用该组区间的中点值作代表,则下列说法中正确的是( )
A . 成绩在内的考生人数最多
B . 不及格的考生人数为1000
C . 考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D . 考生竞赛成绩的中位数为75分
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三、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分.
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14.
已知函数
为定义在R上的偶函数,且当
时,
, 则函数
在
处的切线斜率为
.
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16.
已知双曲线
的实轴长为4,离心率为
, 直线l与C交于A,B两点,M是线段AB的中点,O为坐标原点.若点M的横坐标为1,则
的取值范围为
.
四、解答题:本大题共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
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17.
已知数列
的前n项和为
.
-
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(2)
在(1)的条件下,若
, 数列
的前n项和为
, 求证
.
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18.
已知数列
的前n项和为
.
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(1)
记
, 证明:
是等差数列,并求
的通项公式;
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(2)
记数列
的前n项和为
, 求
, 并求使不等式
成立的最大正整数n.
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(1)
求A到平面
的距离;
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(2)
设D为
的中点,
, 平面
平面
, 求二面角
的正弦值.
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20.
已知双曲线
.
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(1)
试问过点
能否作一条直线与双曲线交于S,T两点,使N为线段ST的中点,如果存在,求出其方程;如果不存在,说明理由;
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(2)
直线
与双曲线有唯一的公共点M,过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于
,
两点,当点M运动时,求点
的轨迹方程.
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21.
已知O是平面直角坐标系的原点,F是抛物线
的焦点,过点F的直线交抛物线于A,B两点,且
的重心G在曲线
上.
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(2)
记曲线
与y轴的交点为D,且直线AB与x轴相交于点E,弦AB的中点为M,求四边形DEMG面积的最小值.
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22.
已知函数
,
.
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(1)
写出函数
在
的零点个数,并证明;
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(2)
当
时,函数
有零点,记
的最大值为
, 证明: