上海市长宁区2023届高三数学二模试卷

更新时间：2023-05-23 浏览次数：59 类型：高考模拟

一、填空题

1. (201920高三上·长宁期末) 已知集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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2. 若“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的充分条件，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围为．

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3. 已知事件A与事件B相互独立，如果 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，那么 $\text{[math]}$ ．

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4. 已知圆锥侧面展开图的圆心角为 $\text{[math]}$ ，底面周长为 $\text{[math]}$ ，则这个圆锥的体积为．

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5. 若函数 $\text{[math]}$ 为奇函数，则实数a的值为．

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6. 设随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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7. 某小学开展劳动教育，欲在围墙边用栅栏围城一个2平方米的矩形植物种植园，矩形的一条边为围墙，如图．则至少需要米栅栏．

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8. 若函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ .

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9. 若对任意 $\text{[math]}$ ，均有 $\text{[math]}$ ，则实数a的取值范围为．

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10. 已知空间向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最大值为．

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点，l是 $\text{[math]}$ 的一条渐近线，以 $\text{[math]}$ 为圆心的圆与l相切于点P，若双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为2，则 $\text{[math]}$ ．

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二、单选题

12. 在下列统计指标中，用来描述一组数据离散程度的量是（）

A . 平均数 B . 众数 C . 百分位数 D . 标准差

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13. 设复平面上表示 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的点分别为点A和点B，则表示向量 $\text{[math]}$ 的复数在复平面上所对应的点位于（）

A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限

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14. 已知正方体 $\text{[math]}$ ，点P在直线 $\text{[math]}$ 上，Q为线段BD的中点．则下列说法不正确的是（）

A . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ B . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ C . 直线PQ始终与直线 $\text{[math]}$ 异面 D . 直线PQ始终与直线 $\text{[math]}$ 异面

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15. 设各项均为实数的等差数列 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的前n项和分别为 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，对于方程① $\text{[math]}$ ， ② $\text{[math]}$ ， ③ $\text{[math]}$ ．下列判断正确的是（）

A . 若①有实根，②有实根，则③有实根 B . 若①有实根，②无实根，则③有实根 C . 若①无实根，②有实根，则③无实根 D . 若①无实根，②无实根，则③无实根

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三、解答题

16. 盒子中有5个乒兵球，其中2个次品，3个正品．现从中不放回地随机摸取2次小球，每次一个．
1. （1）记“第二次摸出的小球是正品”为事件B，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）用X表示摸出的2个小球中次品的个数，求X的分布列和期望．
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17. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为直角梯形， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 中点．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小．
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18. 某地新能源汽车保着量符合阻沛型增长模型 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、 $\text{[math]}$ 和r为增长系数、M为饱和量．
下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据：
年份
2018
2019
2020
2021
2022
t
0
1
2
3
4
保有量 $\text{[math]}$
9.6
12.9
17.1
23.2
31.4
假设该地新能源汽车饱和量 $\text{[math]}$ 万辆．
附：线性回归方程 $\text{[math]}$ 中回归系数计算公式如下： $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，假设2018年数据满足公式 $\text{[math]}$ ，计算 $\text{[math]}$ 的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）；
2. （2）设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定 $\text{[math]}$ 和r的值（精确到0.01）．
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19. 已知抛物线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ，准线为 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ 且与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .
1. （1）求以 $\text{[math]}$ 为焦点，坐标轴为对称轴，离心率为 $\text{[math]}$ 的椭圆的标准方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求线段 $\text{[math]}$ 的中点到 $\text{[math]}$ 轴的距离；
3. （3）设 $\text{[math]}$ 为坐标原点， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 上的动点，直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与准线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ .求证： $\text{[math]}$ 为常数.
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20.
1. （1）求简谐振动 $\text{[math]}$ 的振幅、周期和初相位 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上有唯一的极大值点，求实数m的取值范围；
3. （3）设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若函数 $\text{[math]}$ 在区间 $\text{[math]}$ 上是严格增函数，求实数a的取值范围．
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