广东省河源市2022-2023学年高三上学期数学期末试卷

更新时间：2023-09-05 浏览次数：22 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -4 B . -2 C . 2 D . 4

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2. 如图，在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的向量分别是 $\text{[math]}$ ，且复数 $\text{[math]}$ ，若复数 $\text{[math]}$ 在复平面内的对应点关于虚轴对称，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知平面向量 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 与向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 如图所示，一款网红冰激凌可近似地看作是圆锥和半球的组合体，将圆锥外的包装纸展开发现，它是一张半径为6的半圆形纸片，则这个冰激凌的体积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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5. 已知角 $\text{[math]}$ 的顶点为坐标原点，始边与 $\text{[math]}$ 轴的非负半轴重合，终边过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 在数列 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 18 B . 19 C . 20 D . 21

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7. $\text{[math]}$ 的展开式中含 $\text{[math]}$ 的项的系数为（）

A . $\text{[math]}$ B . 60 C . $\text{[math]}$ D . 30

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8. 已知函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的大小关系为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 潮汐现象是由于海水受日月的引力在一定的时候发生涨落的现象，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近船坞卸货后落潮时返回海洋，现有一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为 $\text{[math]}$ ，根据安全条例规定至少要有 $\text{[math]}$ 的安全间隙（船底与海底的距离），已知某港口在某季节的某一天的时刻 $\text{[math]}$ （单位：小时）与水深 $\text{[math]}$ （单位： $\text{[math]}$ ）的关系为： $\text{[math]}$ ，则下列说法中正确的有（）

A . 相邻两次潮水高度最高的时间间距为 $\text{[math]}$ B . 18时潮水起落的速度为 $\text{[math]}$ C . 该货船在2：00至4：00期间可以进港 D . 该货船在13：00至17：00期间可以进港

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10. 如图，已知正四棱柱 $\text{[math]}$ 的底面边长为1，侧棱长为2，点 $\text{[math]}$ 为侧棱 $\text{[math]}$ （含端点）上的动点，若平面 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 垂直，则下列说法正确的有（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不可能平行 B . 直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 不可能垂直 C . $\text{[math]}$ 不可能为直角三角形 D . 三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积是正四棱柱体积的 $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ 是定义在 $\text{[math]}$ 上的奇函数， $\text{[math]}$ 的图象关于 $\text{[math]}$ 对称，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，则下列判断正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 的周期为2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 是偶函数 D . $\text{[math]}$ 的值域为 $\text{[math]}$

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12. 已知 $\text{[math]}$ 是平面直角坐标系的原点，抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ 两点在抛物线 $\text{[math]}$ 上，下列说法正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 的坐标为 $\text{[math]}$ B . 直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 不相切 C . $\text{[math]}$ 到直线 $\text{[math]}$ 的距离的最小值为 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 某校为了了解高三年级学生的身体素质状况，在开学初举行了一场身体素质体能测试，以便对体能不达标的学生进行有针对性的训练，促进他们体能的提升，现从整个年级测试成绩中抽取100名学生的测试成绩，并把测试成绩分成 $\text{[math]}$ 六组，绘制成频率分布直方图（如图所示）.其中分数在 $\text{[math]}$ 这一组中的纵坐标为 $\text{[math]}$ ，则该次体能测试成绩的 $\text{[math]}$ 分位数约为分.

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14. 从点 $\text{[math]}$ 射出两条光线的方程分别为： $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ ，经 $\text{[math]}$ 轴反射后都与圆 $\text{[math]}$ 相切，则圆的方程为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 在点 $\text{[math]}$ 处的切线经过点 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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16. 某工厂有甲､乙､丙三条生产线同时生产同一产品，这三条生产线生产产品的次品率分别为 $\text{[math]}$ ，假设这三条生产线产品产量的比为 $\text{[math]}$ ，现从这三条生产线上共任意选取100件产品，则次品数的数学期望为.

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四、解答题

17. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）设数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前20项和 $\text{[math]}$ .
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18. 已知锐角三角形 $\text{[math]}$ 内角 $\text{[math]}$ 的对应边分别为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的面积的最大值.
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19. 如图，在三棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 是边长为4的正三角形， $\text{[math]}$ ，三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的中点，点 $\text{[math]}$ 在棱 $\text{[math]}$ 上，且 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求平面 $\text{[math]}$ 和平面 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值.
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20. 疫情期间某大型快餐店严格遵守禁止堂食的要求，在做好自身防护的同时，为了实现收益，也为了满足人们餐饮需求，增加打包和外卖配送服务，不仅如此，还提供了一款新套餐，丰富产品种类，该款新套餐每份成本20元，售价30元，保质期为两天，如果两天内无法售出，则过期作废，且两天内的销售情况互不影响，现统计并整理连续30天的日销量（单位：百份），得到统计数据如下表：
日销量（单位：百份）
12
13
14
15
天数
3
9
12
6
1. （1）记两天中销售该款新套餐的总份数为 $\text{[math]}$ （单位：百份），求 $\text{[math]}$ 的分布列和数学期望；
2. （2）以该款新套餐两天内获得利润较大为决策依据，在每两天备餐27百份､28百份两种方案中应选择哪种？
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的四个顶点围成的四边形面积为 $\text{[math]}$ ，周长为 $\text{[math]}$ ，一双曲线 $\text{[math]}$ 的顶点是该椭圆的焦点，焦点是该椭圆长轴上的顶点.
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 和双曲线 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 是双曲线 $\text{[math]}$ 上不同的三点，且 $\text{[math]}$ 两点关于 $\text{[math]}$ 轴对称， $\text{[math]}$ 的外接圆经过原点 $\text{[math]}$ .求证：直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切.
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22. 已知函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ 为自然对数的底数， $\text{[math]}$ .
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，函数 $\text{[math]}$ 有极小值 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）证明： $\text{[math]}$ 恒成立；
3. （3）证明： $\text{[math]}$ .
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