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广东省深圳市2022届高三数学二模试卷

更新时间：2022-05-25 浏览次数：126 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 已知复数z满足 $\text{[math]}$ ，其中i为虚数单位，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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3. 已知点 $\text{[math]}$ ，向量 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）

A . 3.3万人 B . 3.4万人 C . 3.8万人 D . 3.9万人

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5. 已知一个球的表面积在数值上是它的体积的 $\text{[math]}$ 倍，则这个球的半径是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . 3 D . $\text{[math]}$

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6. 若 $\text{[math]}$ 是函数 $\text{[math]}$ 图象的对称轴，则 $\text{[math]}$ 的最小正周期的最大值是（）

A . π B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 已知 $\text{[math]}$ ，若过点 $\text{[math]}$ 可以作曲线 $\text{[math]}$ 的三条切线，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F作直线l，交抛物线于A，B两点，若 $\text{[math]}$ ，则直线l的倾斜角等于（）

A . 30º或150º B . 45º或135º C . 60º或120º D . 与p值有关

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二、多选题

9. 如图，在正方体 $\text{[math]}$ 中，E为 $\text{[math]}$ 的中点，则下列条件中，能使直线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ 的有（）

A . F为 $\text{[math]}$ 的中点 B . F为 $\text{[math]}$ 的中点 C . F为 $\text{[math]}$ 的中点 D . F为 $\text{[math]}$ 的中点

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10. 已知随机变量X服从正态分布 $\text{[math]}$ ，密度函数 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上是增函数 D . $\text{[math]}$

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11. 已知 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. P是直线 $\text{[math]}$ 上的一个动点，过点P作圆 $\text{[math]}$ 的两条切线，A，B为切点，则（）

A . 弦长 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ B . 存在点P，使得 $\text{[math]}$ C . 直线AB经过一个定点 D . 线段AB的中点在一个定圆上

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ 是偶函数，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．现已知直线 $\text{[math]}$ 与双曲线 $\text{[math]}$ 及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线 $\text{[math]}$ 所截得的两条线段绕y轴旋转一周，则形成的旋转面的面积 $\text{[math]}$ ；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 已知数列 $\text{[math]}$ 的前n项和 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求满足条件的最大整数n．
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18. 记 $\text{[math]}$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 时，求 $\text{[math]}$ 的面积S．
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19. 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面 $\text{[math]}$ 为正方形，侧面 $\text{[math]}$ 是正三角形，M是侧棱 $\text{[math]}$ 的中点，且 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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20. 2022年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛．约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束．已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为 $\text{[math]}$ ；甲与丙比赛，丙赢的概率为p，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若第一场比赛，业余队可以安排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛．请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？
2. （2）为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元．在比赛前，已知业余队采用了（1）中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 经过点 $\text{[math]}$ ，且焦距 $\text{[math]}$ ，线段 $\text{[math]}$ 分别是它的长轴和短轴．
1. （1）求椭圆E的方程；
2. （2）若 $\text{[math]}$ 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线 $\text{[math]}$ 经过定点．
  ① $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E的另一交点分别为P，Q；
  ② $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与椭圆E的另一交点分别为P，Q．
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22. 设函数 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
1. （1）讨论 $\text{[math]}$ 的单调性；
2. （2）当 $\text{[math]}$ 存在小于零的极小值时，若 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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