安徽省合肥市2022届高三下学期理数第二次教学质量检测试卷

更新时间：2022-05-10 浏览次数：71 类型：高考模拟

一、单选题

1. 设全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 设复数 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的虚部为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . -2 D . 2

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3. 某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，学生的数学成绩 $\text{[math]}$ 近似服从正态分布 $\text{[math]}$ （试卷满分150分），且 $\text{[math]}$ ，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（）

A . 2800 B . 4200 C . 5600 D . 7000

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4. 考拉兹猜想是引人注目的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在20世纪 $\text{[math]}$ 年代提出，其内容是：任意正整数 $\text{[math]}$ ，如果 $\text{[math]}$ 是奇数就乘3加1，如果 $\text{[math]}$ 是偶数就除以2，如此循环，最终都能够得到1．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入 $\text{[math]}$ 的值为5，则输出 $\text{[math]}$ 的值为（）

A . 3 B . 4 C . 5 D . 6

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5. 设 $\text{[math]}$ 为第二象限角，若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . -2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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6. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）

A . 8种 B . 14种 C . 20种 D . 116种

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7. 函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 是自然对数的底数）的图象关于（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 对称 B . 点 $\text{[math]}$ 对称 C . 直线 $\text{[math]}$ 对称 D . 点 $\text{[math]}$ 对称

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8. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象上各点横坐标缩短为原来 $\text{[math]}$ （纵坐标不变）后，再向左平移 $\text{[math]}$ 个单位长度得到函数 $\text{[math]}$ 的图象，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的值域为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为抛物线 $\text{[math]}$ 上一点，以 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径的圆交抛物线 $\text{[math]}$ 的准线 $\text{[math]}$ 于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 的斜率为（）

A . ±1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 已知直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 过定点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的最大值为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 5 D . 10

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11. 在四面体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，则四面体 $\text{[math]}$ 外接球的表面积为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 过平面内一点 $\text{[math]}$ 作曲线 $\text{[math]}$ 两条互相垂直的切线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，切点为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 不重合），设直线 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 轴交于点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，则下列结论正确的个数是（）
① $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 两点的横坐标之积为定值；②直线 $\text{[math]}$ 的斜率为定值；③线段 $\text{[math]}$ 的长度为定值；④三角形 $\text{[math]}$ 面积的取值范围为 $\text{[math]}$ ．

A . 1 B . 2 C . 3 D . 4

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二、填空题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的右焦点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 右支上一点， $\text{[math]}$ 为坐标原点.若 $\text{[math]}$ 为等边三角形，则双曲线 $\text{[math]}$ 的离心率为．

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15. 已知 $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 面积的取值范围为．

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16. 在正方体 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，设平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，则直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成角的余弦值为．

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三、解答题

17. 记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 满足_______，记 $\text{[math]}$ 为数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和，证明： $\text{[math]}$ ．
  从① $\text{[math]}$ ② $\text{[math]}$ 两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上并作答.
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18. 如图，在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 为边 $\text{[math]}$ 的中点．以 $\text{[math]}$ 为折痕把 $\text{[math]}$ 折起，使点 $\text{[math]}$ 到达点 $\text{[math]}$ 的位置，使得 $\text{[math]}$ ，连结 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值．
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19. 通信编码信号利用 $\text{[math]}$ 信道传输，如图1，若 $\text{[math]}$ 信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若 $\text{[math]}$ 信道传输失败，则接收端收不到任何信号.传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．
华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家Erdal Arikan 教授的极化码技术（以两个相互独立的 $\text{[math]}$ 信道传输信号为例）：如图3，信号 $\text{[math]}$ 直接从信道2传输；信号 $\text{[math]}$ 在传输前先与 $\text{[math]}$ “异或”运算得到信号 $\text{[math]}$ ，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“ $\text{[math]}$ ”表示： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ． “异或”运算性质： $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ）．假设每个信道传输成功的概率均为 $\text{[math]}$ ． $\text{[math]}$ ．
1. （1）在传统传输方案中，设“信号 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 均被成功接收”为事件 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ ：
2. （2）对于极化码技术：①求信号 $\text{[math]}$ 被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定 $\text{[math]}$ 的值）的概率；②若对输入信号 $\text{[math]}$ 赋值（如 $\text{[math]}$ ）作为已知信号，接收端只解码信号 $\text{[math]}$ ，求信号 $\text{[math]}$ 被成功解码的概率.
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的左焦点为 $\text{[math]}$ ，右顶点为 $\text{[math]}$ ，离心率为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为椭圆 $\text{[math]}$ 上一动点， $\text{[math]}$ 面积的最大值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2）过点 $\text{[math]}$ 的直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 的另一个交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为线段 $\text{[math]}$ 的中点，射线 $\text{[math]}$ 与椭圆交于点 $\text{[math]}$ ．点 $\text{[math]}$ 为直线 $\text{[math]}$ 上一动点，且 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 在定直线上．
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21. 已知函数 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的导函数.
1. （1）证明：函数 $\text{[math]}$ 只有一个极值点；
2. （2）若关于 $\text{[math]}$ 的方程 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上有两个不相等的实数根 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ ．
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22. 在直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，直线 $\text{[math]}$ 的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数）.以坐标原点为极点， $\text{[math]}$ 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求直线 $\text{[math]}$ 的极坐标方程和曲线 $\text{[math]}$ 的直角坐标方程；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求实数 $\text{[math]}$ 的值．
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23. 已知函数 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ ；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为正数，且 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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