北京市东城区2020-2021学年高一下学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-09-06 浏览次数：114 类型：期末考试

一、单选题

1. 已知复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . -4 B . -2 C . 2i D . 0

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2. 若 $\text{[math]}$ 都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 由随机函数 $\text{[math]}$ 生成了在区间 $\text{[math]}$ 内的随机数 $\text{[math]}$ ，则下列运算中能将 $\text{[math]}$ 对应到区间 $\text{[math]}$ 的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 在正方体 $\text{[math]}$ 各条棱所在的直线中，与直线 $\text{[math]}$ 异面且垂直的可以是（）

A . $\text{[math]}$ B . BC C . $\text{[math]}$ D . CD

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5. 某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）

A . 直方图中x的值为0.004 B . 在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10 C . 估计全校学生的平均成绩不低于80分 D . 估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分

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6. 设向量 $\text{[math]}$ ，则“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
$\text{[math]}$ ＝“点数为 $\text{[math]}$ ”，其中 $\text{[math]}$ 1，2，3，4， 5，6；

$\text{[math]}$ ＝“点数不大于2”， $\text{[math]}$ ＝“点数不小于2”， $\text{[math]}$ ＝“点数大于5”；

$\text{[math]}$ “点数为奇数”， $\text{[math]}$ “点数为偶数”．

下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 对立 B . $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 互斥 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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8. 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则 $\text{[math]}$ 的值可以为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 若直线 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，则下列结论一定成立的个数是（）
① $\text{[math]}$ 内的所有直线与m异面；

② $\text{[math]}$ 内存在唯一一条直线与m相交；

③ $\text{[math]}$ 内存在直线与m平行．

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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10. 一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，水流速度 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ．设船行驶方向与水流方向的夹角为 $\text{[math]}$ ，若船的航程最短，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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二、填空题

11. 在复平面内，复数 $\text{[math]}$ 对应的点Z的坐标为； $\text{[math]}$ ．

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12. 用一张A4纸围绕半径为rcm的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为 $\text{[math]}$ （0°＜ $\text{[math]}$ ＜90°），如图②．将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为 $\text{[math]}$ ，若f(x)的最小正周期为 $\text{[math]}$ ，则r＝cm，此时，当 $\text{[math]}$ ＝时，可使f(x)的值域为 $\text{[math]}$ ．

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13. 已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为．

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14. 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．

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15. 已知⊙ $\text{[math]}$ 中弦 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 已知 $\text{[math]}$ 是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到 $\text{[math]}$ 的是．（填入条件的序号即可）
① $\text{[math]}$ ；② $\text{[math]}$ ；③ $\text{[math]}$ ；④ $\text{[math]}$ ；⑤ $\text{[math]}$ ．

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三、解答题

17. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 及 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的值．
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18. 为开学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．
1. （1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；
2. （2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；
3. （3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．
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19. 水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设 $\text{[math]}$ ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为a．
1. （1）求f(t)的函数解析式；
2. （2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；
3. （3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出f(t)的函数解折式．（参考数据： $\text{[math]}$ ）
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20. 已知点O（0，0），A（2，1），B（1，2）．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，求点P的坐标；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ．
  ①若点Q在直线AB：y＝－x＋3上，试写出 $\text{[math]}$ 应满足的数量关系，并说明你的理由；
  
  ②若△QAB为等边三角形，求 $\text{[math]}$ 的值．
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21. 如图①，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形 $\text{[math]}$ 的位置，如图②．
1. （1）求证：EF⊥平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若点 $\text{[math]}$ 在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积；
3. （3）当平面 $\text{[math]}$ 与平面EFCB垂直时，作正方体 $\text{[math]}$ 如图③．若平面 $\text{[math]}$ ∥平面 $\text{[math]}$ ，且平面 $\text{[math]}$ 截该正方体所得图形的面积为S．
  ①若C∈ $\text{[math]}$ ，则S＝；
  
  ②S的最大值为．（直接写出结果）
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