山东省淄博市2021届高三数学三模试卷

更新时间：2021-06-18 浏览次数：114 类型：高考模拟

一、单选题

1. 已知全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则如图阴影部分表示的集合是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. 某个国家某种病毒传播的中期，感染人数 $\text{[math]}$ 和时间 $\text{[math]}$ （单位：天）在 $\text{[math]}$ 天里的散点图如图所示，下面四个回归方程类型中最适宜作为感染人数 $\text{[math]}$ 和时间 $\text{[math]}$ 的回归方程类型的是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 在正项等比数列 $\text{[math]}$ 中，若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两项的等差中项，则 $\text{[math]}$ （）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . -1

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4. 已知向量 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . 3 B . $\text{[math]}$ C . 7 D . $\text{[math]}$

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5. 已知 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为虚数单位，则 $\text{[math]}$ 的最大值是（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知锐角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为（）

A . 4 B . $\text{[math]}$ C . 8 D . $\text{[math]}$

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7. 算盘是一种手动操作计算辅助工具．它起源于中国，迄今已有2600多年的历史，是中国古代的一项重要发明，算盘有很多种类．现有一种算盘（如图一），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨每珠记作数字1（例如图二中算盘表示整数51）．如果拨动图一算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为（）

A . 16 B . 15 C . 12 D . 10

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8. (2021·梧州模拟) 设双曲线 $\text{[math]}$ 的左、右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，点P（异于顶点）在双曲线C的右支上，则下列说法正确的是（）

A . $\text{[math]}$ 可能是正三角形 B . P到两渐近线的距离之积是定值 C . 若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的面积为8 D . 在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$

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二、多选题

9. 已知正四棱台的上底面边长为1，侧棱长为2，高为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 棱台的侧面积为 $\text{[math]}$ B . 棱台的体积为 $\text{[math]}$ C . 棱台的侧棱与底面所成的角 $\text{[math]}$ D . 棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为 $\text{[math]}$

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10. 下列说法正确的是（）

A . 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为60的样本，已知该校高一、高二，高三年级学生之比为 $\text{[math]}$ ，则应从高二年级中抽取20名学生 B . 线性回归方程 $\text{[math]}$ 对应的直线至少经过其样本数据点中的一个点 C . 命题“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ”的否定是“ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ " D . 方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，方差越大，数据的离散程度越大，方差越小，数据的离散程度越小

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11. (2021·海南模拟) 已知圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 的交点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则（）

A . 圆 $\text{[math]}$ 和圆 $\text{[math]}$ 有两条公切线 B . 直线 $\text{[math]}$ 的方程为 $\text{[math]}$ C . 圆 $\text{[math]}$ 上存在两点 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 使得 $\text{[math]}$ D . 圆 $\text{[math]}$ 上的点到直线 $\text{[math]}$ 的最大距离为 $\text{[math]}$

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12. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新 $\text{[math]}$ ．设计师的灵感来源于曲线 $\text{[math]}$ ．则下列说法正确的是（）

A . 曲线 $\text{[math]}$ 关于原点成中心对称 B . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 上的点到原点的距离的最小值为2 C . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 所围成图形的面积的最小值为 $\text{[math]}$ D . 当 $\text{[math]}$ 时，曲线 $\text{[math]}$ 所围成图形的面积小于4

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三、填空题

13. 请写出一个函数 $\text{[math]}$ ，使之同时具有如下性质：① $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

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14. 已知椭圆C的左､右焦点分别为 $\text{[math]}$ ，直线AB过 $\text{[math]}$ 与椭圆交于A ， B两点，当 $\text{[math]}$ 为正三角形时，该椭圆的离心率为.

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15. 已知函数 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）的部分图像如图所示，则 $\text{[math]}$ ．

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16. 如图，在 $\text{[math]}$ 的点阵中，依次随机地选出 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三个点，则选出的三点满足 $\text{[math]}$ 的概率是．

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四、解答题

17. $\text{[math]}$ 的内角 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的对边分别为 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
1. （1）求角 $\text{[math]}$ 的大小；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 外接圆面积的最小值．
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18. 在图1所示的平面图形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为4的等边三角形， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的平分线，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的中点，以 $\text{[math]}$ 为折痕将 $\text{[math]}$ 折起得到四棱锥 $\text{[math]}$ （如图2）．
1. （1）设平面 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 的交线为 $\text{[math]}$ ，在四棱雉 $\text{[math]}$ 的棱 $\text{[math]}$ 上求一点 $\text{[math]}$ ，使直线 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若二面角 $\text{[math]}$ 的大小为 $\text{[math]}$ ，求平面 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 所成锐二面角的余弦值．
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19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为 $\text{[math]}$ ，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p ，假设每道题答对与否互不影响.
1. （1）当 $\text{[math]}$ 时，
  （i）若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率；
  
  （ii）甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X ，求随机变量X的分布列和数学期望 $\text{[math]}$ ；
2. （2）乙答对每道题的概率为 $\text{[math]}$ (含亲友团)，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于 $\text{[math]}$ ，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值.
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20. 已知函数 $\text{[math]}$ ．
1. （1）判断函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上的单调性；
2. （2）证明函数 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 内存在唯一的极值点 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ．
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21. 若存在常数 $\text{[math]}$ ，使得对于任意 $\text{[math]}$ ，都有 $\text{[math]}$ ，则称数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列.
1. （1）已知数列 $\text{[math]}$ 是公差为 $\text{[math]}$ 的等差数列，其前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ 的取值范围；
2. （2）已知数列 $\text{[math]}$ 的各项均为正数，记 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，求 $\text{[math]}$ 的最大值；
3. （3）已知正项数列 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ ，且数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，数列 $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 数列，若 $\text{[math]}$ ，求证：数列 $\text{[math]}$ 中必存在无穷多项可以组成等比数列.
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