山东省青岛市2020-2021学年高三上学期数学期末考试试卷

更新时间：2021-03-09 浏览次数：129 类型：期末考试

一、单选题

1. 若全集 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，集合 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. $\text{[math]}$ （）

A . 2 B . -1 C . 1 D . $\text{[math]}$

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3. “ $\text{[math]}$ ”的充要条件是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 《莱茵德纸草书》（ $\text{[math]}$ ）是世界上最古老的数学著作之一.书中有这样一道题目：把93个面包分给5个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份之和等于中间一份的四分之三，则最小的一份为（）

A . 3 B . 4 C . 8 D . 9

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5. 已知双曲线 $\text{[math]}$ 的焦点到渐近线的距离等于 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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6. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如下所示，则 $\text{[math]}$ 可能为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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7. 设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个不同的平面， $\text{[math]}$ 是一条直线，以下结论正确的是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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8. 某种芯片的良品率 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若芯片的良品率不超过 $\text{[math]}$ ，不予奖励；若芯片的良品率超过 $\text{[math]}$ 但不超过 $\text{[math]}$ ，每张芯片奖励 $\text{[math]}$ 元；若芯片的良品率超过 $\text{[math]}$ ，每张芯片奖励 $\text{[math]}$ 元.则每张芯片获得奖励的数学期望为（）元附：随机变量 $\text{[math]}$ 服从正态分布 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .

A . 52.28 B . 65.87 C . 50.13 D . 131.74

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二、多选题

9. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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10. 定义在 $\text{[math]}$ 上的函数 $\text{[math]}$ 满足： $\text{[math]}$ 为整数时， $\text{[math]}$ ； $\text{[math]}$ 不为整数时， $\text{[math]}$ ，则（）

A . $\text{[math]}$ 是奇函数 B . $\text{[math]}$ 是偶函数 C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ 的最小正周期为 $\text{[math]}$

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11. 已知函数 $\text{[math]}$ （其中 $\text{[math]}$ ）图象的两条相邻的对称轴之间的距离为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，下列结论正确的是（）

A . $\text{[math]}$ B . 将函数 $\text{[math]}$ 的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后得到函数 $\text{[math]}$ 的图象 C . 当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 有且只有一个零点 D . $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递增

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12. 在三棱柱 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 是边长为 $\text{[math]}$ 的等边三角形，侧棱长为 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 之间距离的最大值为 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ 在底面 $\text{[math]}$ 上的投影恰为 $\text{[math]}$ 的中心，则直线 $\text{[math]}$ 与底面所成角为 $\text{[math]}$ C . 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则异面直线 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 所成的角为 $\text{[math]}$ D . 若三棱柱的侧棱垂直于底面，则其外接球表面积为 $\text{[math]}$

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三、填空题

13. 已知 $\text{[math]}$ 是虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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14. 若二项式 $\text{[math]}$ 的展开式中所有项的系数和为 $\text{[math]}$ ，则该二项式展开式中含有 $\text{[math]}$ 项的系数为．

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15. 设函数 $\text{[math]}$ 的图象在点 $\text{[math]}$ 处的切线为 $\text{[math]}$ ，若方程 $\text{[math]}$ 有两个不等实根，则实数 $\text{[math]}$ 的取值范围是．

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16. 如图所示，在平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 过坐标原点 $\text{[math]}$ ，圆 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 外切.则（1）圆 $\text{[math]}$ 的半径等于；（2）已知过点 $\text{[math]}$ 和抛物线 $\text{[math]}$ 焦点的直线与抛物线交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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四、解答题

17. 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这两个条件中任选一个，补充到下面横线处，并解答.
已知正项数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和为 $\text{[math]}$ ，．
1. （1）求数列 $\text{[math]}$ 的通项公式；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前 $\text{[math]}$ 项和 $\text{[math]}$ .
  注：如果选择多个条件分别进行解答，按第一个解答进行计分.
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18. 在如图所示的平面图形中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）用 $\text{[math]}$ 表示 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 取最大值时 $\text{[math]}$ 的值.
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19. 如图，在直角梯形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，使得平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，证明：平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ；
2. （2）当三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积最大时，求平面 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成的锐二面角的余弦值.
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20. 魔方，又叫鲁比克方块，最早是由匈牙利布达佩斯建筑学院厄尔诺·鲁比克教授于1974 年发明的.魔方与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议，而魔方受欢迎的程度更是智力游戏界的奇迹.通常意义下的魔方，即指三阶魔方，为 $\text{[math]}$ 的正方体结构，由26个色块组成.常规竞速玩法是将魔方打乱，然后在最短的时间内复原.截至2020年，三阶魔方还原官方世界纪录是由中国的杜宇生在2018年11月24日于芜湖赛打破的纪录，单次3.475秒.

（1）某魔方爱好者进行一段时间的魔方还原训练，每天魔方还原的平均速度 $\text{[math]}$ (秒) 与训练天数 $\text{[math]}$ (天)有关，经统计得到如下数据：

$\text{[math]}$ （天）	1	2	3	4	5	6	7
$\text{[math]}$ （秒）	99	99	45	32	30	24	21

现用 $\text{[math]}$ 作为回归方程类型，请利用表中数据，求出该回归方程，并预测该魔方爱好者经过长期训练后最终每天魔方还原的平均速度y约为多少秒(精确到1) ?

参考数据（其中 $\text{[math]}$ ）

$\text{[math]}$	$\text{[math]}$	$\text{[math]}$
184.5	0.37	0.55

参考公式：

对于一组数据 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，…， $\text{[math]}$ ，其回归直线 $\text{[math]}$ 的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： $\text{[math]}$ .

（2）现有一个复原好的三阶魔方，白面朝上，只可以扭动最外侧的六个表面.某人按规定将魔方随机扭动两次，每次均顺时针转动 $\text{[math]}$ ，记顶面白色色块的个数为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的分布列及数学期望 $\text{[math]}$ .

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21. 已知函数 $\text{[math]}$ 的图象在 $\text{[math]}$ 处的切线斜率等于1，其中 $\text{[math]}$ …为自然对数的底数， $\text{[math]}$ .
1. （1）若 $\text{[math]}$ ，当 $\text{[math]}$ 时，证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，证明： $\text{[math]}$ 有两个极值点 $\text{[math]}$ ，在 $\text{[math]}$ 上恰有一个零点，且 $\text{[math]}$ .
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22. 已知 $\text{[math]}$ 为坐标原点，椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在椭圆 $\text{[math]}$ 上，椭圆 $\text{[math]}$ 的左右焦点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的中点为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 周长等于 $\text{[math]}$ .
1. （1）求椭圆 $\text{[math]}$ 的标准方程；
2. （2） $\text{[math]}$ 为双曲线 $\text{[math]}$ 上的一个点，由 $\text{[math]}$ 向抛物线 $\text{[math]}$ 做切线 $\text{[math]}$ ，切点分别为 $\text{[math]}$ .
  （ $\text{[math]}$ ）证明：直线 $\text{[math]}$ 与圆 $\text{[math]}$ 相切；
  
  （ $\text{[math]}$ ）若直线 $\text{[math]}$ 与椭圆 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ 两点，求 $\text{[math]}$ 外接圆面积的最大值.
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