江苏省苏锡常镇四市2020届高三数学第一次教学情况调研试卷

更新时间：2020-05-09 浏览次数：298 类型：高考模拟

一、填空题

1. 已知i为虚数单位，复数 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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2. 已知集合A＝ $\text{[math]}$ ，B＝ $\text{[math]}$ ，若A $\text{[math]}$ B中有且只有一个元素，则实数a的值为．

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3. 已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是．

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4. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 $\text{[math]}$ (a＞0)的一条渐近线方程为 $\text{[math]}$ ，则a＝．

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5. 甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 $\text{[math]}$ ，乙获胜的概率是 $\text{[math]}$ ，则乙不输的概率是．

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6. 下图是一个算法的流程图，则输出的x的值为．

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7. “直线l₁： $\text{[math]}$ 与直线l₂： $\text{[math]}$ 平行”是“a＝2”的条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）．

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8. 已知等差数列 $\text{[math]}$ 的前n项和为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ＝．

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9. 已知点M是曲线y＝2lnx＋x²﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为．

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10. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ )，则 $\text{[math]}$ ＝．

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11. 如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，分别以 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 为圆心， $\text{[math]}$ 为半径作圆弧 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ （在线段 $\text{[math]}$ 上）.由两圆弧 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为.

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12. 在△ABC中，( $\text{[math]}$ )⊥ $\text{[math]}$ ( $\text{[math]}$ ＞1)，若角A的最大值为 $\text{[math]}$ ，则实数 $\text{[math]}$ 的值是．

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13. 若函数 $\text{[math]}$ (a＞0且a≠1)在定义域[m ， n]上的值域是[m² ， n²](1＜m＜n)，则a的取值范围是．

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14. 如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC ， CD与BE交于点O ，若OB＝ $\text{[math]}$ OC ，则△ABC面积的最大值为．

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二、解答题

15. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bcosA﹣ $\text{[math]}$ asinB＝0．
1. （1）求A；
2. （2）已知a＝2 $\text{[math]}$ ，B＝ $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积．
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16. 如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC ， △PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD ， E为PC的中点．
1. （1）证明：AP∥平面EBD；
2. （2）证明：BE⊥PC ．
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17. 某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l₁和l₂通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l₁和l₂所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l₃平行于观光道且与l₂相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l₃ ，且交l₃于M ），在堤岸线l₃上的E ， F两处建造建筑物，其中E ， F到M的距离为1 （百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l₃）．
1. （1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；
2. （2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角(∠EPF)最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．
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18. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\text{[math]}$ (a＞b＞0)的离心率为 $\text{[math]}$ ．且经过点(1， $\text{[math]}$ )，A ， B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D ， E两点（其中D在x轴上方）．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）若△AEF与△BDF的面积之比为1：7，求直线l的方程．
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19. 已知函数 $\text{[math]}$ (m $\text{[math]}$ R)的导函数为 $\text{[math]}$ ．
1. （1）若函数 $\text{[math]}$ 存在极值，求m的取值范围；
2. （2）设函数 $\text{[math]}$ （其中e为自然对数的底数），对任意m $\text{[math]}$ R ，若关于x的不等式 $\text{[math]}$ 在(0， $\text{[math]}$ )上恒成立，求正整数k的取值集合．
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20. 已知数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，数列 $\text{[math]}$ 满足 $\text{[math]}$ ，n $\text{[math]}$ ．
1. （1）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求数列 $\text{[math]}$ 的前2n项和 $\text{[math]}$ ；
2. （2）若数列 $\text{[math]}$ 为等差数列，且对任意n $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 恒成立．
  ①当数列 $\text{[math]}$ 为等差数列时，求证：数列 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的公差相等；
  
  ②数列 $\text{[math]}$ 能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列 $\text{[math]}$ ；若不能，请说明理由．
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21. 已知矩阵 $\text{[math]}$ ，且二阶矩阵M满足AM=B ，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为r=4sin $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线C的普通方程；
2. （2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标.
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23. 已知正数x ， y ， z满足x+y+z=t（t为常数），且 $\text{[math]}$ 的最小值为 $\text{[math]}$ ，求实数t的值.

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24. 某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
1. （1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
2. （2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
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25. 已知抛物线C：x²=4py（p为大于2的质数）的焦点为F ，过点F且斜率为k(k≠0)的直线交C于A ， B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E ，抛物线C在点A ， B处的切线相交于点G.记四边形AEBG的面积为S.
1. （1）求点G的轨迹方程；
2. （2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由.
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