2017年上海市长宁区延安中学高考数学三模试卷

更新时间：2017-08-26 浏览次数：468 类型：高考模拟

一、填空题

1. （若复数（a+i）（1+i）在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a=．

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2. 设集合A={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，集合B={x|x＞0}，则A∩B=．

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3. （x²﹣ $\text{[math]}$ ）⁸的二项展开式中x⁷项的系数为．

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4. 若一个球的体积为36π，则它的表面积为．

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5. 若等差数列{a_n}前9项的和为27，且a₁₀=8，则d=．

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6. 函数 $\text{[math]}$ 的单调递增区间为．

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7. 如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，以A、B为焦点的双曲线 $\text{[math]}$ 恰好过C、D两点，则双曲线M的标准方程为．

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8. 设等比数列{a_n}满足a₁+a₃=10，a₂+a₄=5，则a₁a₂…a_n的最大值为．

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9. 若命题“对任意 $\text{[math]}$ ，tanx＜m恒成立”是假命题，则实数m的取值范围是．

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10. 把一颗骰子投掷2次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，则方程组 $\text{[math]}$ 只有一个解的概率为．

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11. 已知点 $\text{[math]}$ ，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数 $\text{[math]}$ 的图象上，则四边形ABCD的面积为．

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12. 已知O为△ABC的外心，且 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则α+β的最大值为．

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二、选择题

13. 已知向量 $\text{[math]}$ 都是非零向量，“ $\text{[math]}$ ”是“ $\text{[math]}$ ”的（）

A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充分必要条件 D . 既非充分也非必要条件

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14. 已知x＞y＞0，则（）

A . $\text{[math]}$ B . sinx﹣siny＞0 C . $\text{[math]}$ D . lnx+lny＞0

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15. 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x= $\text{[math]}$ 时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）

A . f（2）＜f（﹣2）＜f（0） B . f（0）＜f（2）＜f（﹣2） C . f（﹣2）＜f（0）＜f（2） D . f（2）＜f（0）＜f（﹣2）

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16. 已知x，y∈R，且 $\text{[math]}$ ，则存在θ∈R，使得xcosθ+ysinθ+1=0成立的P（x，y）构成的区域面积为（）

A . 4 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ B . 4 $\text{[math]}$ ﹣ $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$

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三、解答题

17. 已知图一是四面体ABCD的三视图，E是AB的中点，F是CD的中点．
1. （1）求四面体ABCD的体积；
2. （2）求EF与平面ABC所成的角．
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18. 已知函数f（x）=x²﹣4x+a+3：
1. （1）若函数y=f（x）在[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
2. （2）设函数g（x）=x+b，当a=3时，若对任意的x₁∈[1，4]，总存在x₂∈[5，8]，使得g（x₁）=f（x₂），求实数b的取值范围．
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19. 如图，△ABC为一个等腰三角形形状的空地，腰CA的长为3（百米），底AB的长为4（百米）．现决定在空地内筑一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形的周长相等、面积分别为S₁和S₂ ．
1. （1）若小路一端E为AC的中点，求此时小路的长度；
2. （2）求 $\text{[math]}$ 的最小值．
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20. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的焦点和上顶点分别为F₁、F₂、B，定义：△F₁BF₂为椭圆C的“特征三角形”，如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形，那么称这两个椭圆为“相似椭圆”，且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比，已知点 $\text{[math]}$ 是椭圆 $\text{[math]}$ 的一个焦点，且C₁上任意一点到它的两焦点的距离之和为4．
1. （1）若椭圆C₂与椭圆C₁相似，且C₂与C₁的相似比为2：1，求椭圆C₂的方程；
2. （2）已知点P（m，n）（mn≠0）是椭圆C₁上的任意一点，若点Q是直线y=nx与抛物线 $\text{[math]}$ 异于原点的交点，证明：点Q一定在双曲线4x²﹣4y²=1上；
3. （3）已知直线l：y=x+1，与椭圆C₁相似且短半轴长为b的椭圆为C_b ，是否存在正方形ABCD，（设其面积为S），使得A、C在直线l上，B、D在曲线C_b上？若存在，求出函数S=f（b）的解析式及定义域；若不存在，请说明理由．
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21. 如果存在常数a，使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a﹣x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
1. （1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
2. （2）已知有穷等差数列{b_n}的项数是n₀（n₀≥3），所有项之和是B，求证：数列{b_n}是“兑换数列”，并用n₀和B表示它的“兑换系数”；
3. （3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c_n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．
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