2017年辽宁省锦州市高考数学一模试卷（理科）

更新时间：2017-08-25 浏览次数：1204 类型：高考模拟

一、选择题：

1. 集合M={x|x=3ⁿ ， n∈N}，集合N={x|x=3n，n∈N}，则集合M与集合N的关系（）

A . M⊆N B . N⊆M C . M∩N=∅ D . M⊈N且N⊈M

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2. (2016·淮南模拟) 若复数z满足i•z= $\text{[math]}$ （1+i），则z的虚部是（）

A . ﹣ $\text{[math]}$ i B . $\text{[math]}$ i C . ﹣ $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为 $\text{[math]}$ 的扇形，则该几何体的侧面积为（）

A . 2 B . 4+π C . 4+ $\text{[math]}$ π D . 4+π+ $\text{[math]}$ π

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4. (2017·延边模拟) 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 $\text{[math]}$ =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）
x
3
4
5
6
y
2.5
t
4
4.5

A . 线性回归直线一定过点（4.5，3.5） B . 产品的生产能耗与产量呈正相关 C . t的取值必定是3.15 D . A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨

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5. 已知等差数列{a_n}的前n项和S_n ，其中 $\text{[math]}$ 且a₁₁=20，则S₁₃=（）

A . 60 B . 130 C . 160 D . 260

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6. (2017·河西模拟) 设p：实数x，y满足（x﹣1）²+（y﹣1）²≤2，q：实数x，y满足 $\text{[math]}$ ，则p是q的（）

A . 必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件

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7. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）

A . ﹣2 B . $\text{[math]}$ C . ﹣1 D . 2

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8. 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实，黄实，利用2×勾×股+（股﹣勾）²=4×朱实+黄实=弦实，化简，得勾²+股²=弦² ，设勾股中勾股比为1： $\text{[math]}$ ，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（）

A . 866 B . 500 C . 300 D . 134

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9. (2017·吉林模拟) 已知f（x）= $\text{[math]}$ sinxcosx﹣sin²x，把f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位，再向上平移2个单位，得到y=g（x）的图象，若对任意实数x，都有g（α﹣x）=g（α+x）成立，则g（α+ $\text{[math]}$ ）+g（ $\text{[math]}$ ）=（）

A . 4 B . 3 C . 2 D . $\text{[math]}$

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10. 设a＞0，b＞2，且a+b=3，则 $\text{[math]}$ 的最小值是（）

A . 6 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 已知双曲线 $\text{[math]}$ =1（a＞0，b＞0）左右焦点分别为F₁ ， F₂ ，渐近线为l₁ ， l₂ ， P位于l₁在第一象限内的部分，若l₂⊥PF₁ ， l₂∥PF₂ ，则双曲线的离心率为（）

A . 2 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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12. 设函数f（x）在R上存在导数f′（x），∀x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x² ，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（2﹣m）+f（﹣m）﹣m²+2m﹣2≥0，则实数m的取值范围为（）

A . [﹣1，1] B . [1，+∞） C . [2，+∞） D . （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）

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二、填空题

13. （x²﹣x﹣2）³展开式中x项的系数为．

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14. 设抛物线x²=2y的焦点为F，经过点P（1，3）的直线l与抛物线相交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则 $\text{[math]}$ =．

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15. 三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为3的正三角形，SC是球O的直径，且SC=4，则此三棱锥的体积V=．

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16. (2017·吉安模拟) 将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12，2×6，3×4三种，其中3×4是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p×q（p≤q且pq∈N^* ，）是正整数n的最佳分解时，我们定义函数f（n）=q﹣p，例如f（12）=4﹣3=1．数列{f（3ⁿ）}的前100项和为．

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三、解答题

17. 已知函数 $\text{[math]}$ 的部分图象如图所示．
1. （1）求函数f（x）的解析式；
2. （2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若（2a﹣c）cosB=bcosC，求 $\text{[math]}$ 的取值范围．
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18. 《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，调查数据显示市民的成绩服从正态分布N（168，16）．现从某社区居民中随机抽取50名市民进行听写测试，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160，164），第二组[164，168），…，第六组[180，184），如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
1. （1）试评估该社区被测试的50名市民的成绩在全市市民中成绩的平均状况及这50名市民成绩在172个以上（含172个）的人数；
2. （2）在这50名市民中成绩在172个以上（含172个）的人中任意抽取2人，该2人中成绩排名（从高到低）在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．
  参考数据：若η～N（μ，σ²），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）=0.9974．
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19. 在四棱锥P﹣ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，△PAB和△PBD都是边长为2的等边三角形，设P在底面ABCD的射影为O．
1. （1）求证：O是AD中点；
2. （2）证明：BC⊥PB；
3. （3）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．
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20. 已知椭圆C： $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =1（a＞b＞0）的上下两个焦点分别为F₁ ， F₂ ，过点F₁与y轴垂直的直线交椭圆C于M，N两点，△MNF₂的面积为 $\text{[math]}$ ，椭圆C的离心率为 $\text{[math]}$
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）已知O为坐标原点，直线l：y=kx+m与y轴交于点P，与椭圆C交于A，B两个不同的点，若存在实数λ，使得 $\text{[math]}$ +λ $\text{[math]}$ =4 $\text{[math]}$ ，求m的取值范围．

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21. 已知m＞0，设函数f（x）=e^mx﹣lnx﹣2．
1. （1）若m=1，证明：存在唯一实数 $\text{[math]}$ ，使得f′（t）=0；
2. （2）若当x＞0时，f（x）＞0，证明： $\text{[math]}$ ．
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22. 已知曲线C在平面直角坐标系xOy下的参数方程为 $\text{[math]}$ （θ为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
1. （1）求曲线C的普通方程及极坐标方程；
2. （2）直线l的极坐标方程是 $\text{[math]}$ ，射线OT： $\text{[math]}$ 与曲线C交于点A与直线l交于点B，求线段AB的长．
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23. 已知函数f（x）=|x+3|+|x﹣2|
（Ⅰ）若∀x∈R，f（x）≥6a﹣a²恒成立，求实数a的取值范围
（Ⅱ）求函数y=f（x）的图象与直线y=9围成的封闭图形的面积．

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