2017年湖南省郴州市高考数学二模试卷（理科）

更新时间：2017-04-20 浏览次数：699 类型：高考模拟

一、选择题

1. 已知x，y∈R，i是虚数单位．若x+yi与 $\text{[math]}$ 互为共轭复数，则x+y=（）

A . 0 B . 1 C . 2 D . 3

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2. 已知 $\text{[math]}$ 均为单位向量，且 $\text{[math]}$ ，则向量 $\text{[math]}$ 的夹角为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. 已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ =（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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4. 我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（）

（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V= $\text{[math]}$

A . 2寸 B . 3寸 C . 4寸 D . 5寸

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5. (2017·石嘴山模拟) 考拉兹猜想又名3n+1猜想，是指对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1；如果它是偶数，则对它除以2．如此循环，最终都能得到1．阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果i=（）

A . 4 B . 5 C . 6 D . 7

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6. 已知某三棱锥的三视图如图所示，正视图和俯视图都是等腰直角三角形，则该三棱锥中最长的棱长为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . 2

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7. (2016高一上·石嘴山期中) 已知函数f（x）是奇函数，当x＞0时，f（x）=a^x（x＞0且a≠1），且f（log $\text{[math]}$ 4）=﹣3，则a的值为（）

A . $\text{[math]}$ B . 3 C . 9 D . $\text{[math]}$

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8. (2017高二上·景德镇期末) 设关于x，y的不等式组 $\text{[math]}$ 表示的平面区域内存在点P（x₀ ， y₀），满足x₀﹣2y₀=2，求得m的取值范围是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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9. 将边长为 $\text{[math]}$ 的正方形ABCD沿对角线AC折成一个直二面角B﹣AC﹣D．则四面体ABCD的内切球的半径为（）

A . 1 B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ -1 D . $\text{[math]}$

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10. 已知F为双曲线 $\text{[math]}$ 1（a＞0，b＞0）的右焦点，定点A为双曲线虚轴的一个顶点，过F，A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴左侧的交点为B，若 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ﹣1） $\text{[math]}$ ，则此双曲线的离心率是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 2 $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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11. 在△ABC中，A₁ ， B₁分别是边BA，CB的中点，A₂ ， B₂分别是线段A₁A，B₁B的中点，…，A_n ， B_n分别是线段 $\text{[math]}$ 的中点，设数列{a_n}，{b_n}满足：向量 $\text{[math]}$ ，有下列四个命题，其中假命题是（）

A . 数列{a_n}是单调递增数列，数列{b_n}是单调递减数列 B . 数列{a_n+b_n}是等比数列 C . 数列 $\text{[math]}$ 有最小值，无最大值 D . 若△ABC中，C=90°，CA=CB，则 $\text{[math]}$ 最小时， $\text{[math]}$

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12. 若方程|x²﹣2x﹣1|﹣t=0有四个不同的实数根x₁、x₂、x₃、x4，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄ ，则2（x₄﹣x₁）+（x₃﹣x₂）的取值范围是（）

A . （8，6 $\text{[math]}$ ） B . （6 $\text{[math]}$ ，4 $\text{[math]}$ ） C . [8，4 $\text{[math]}$ ] D . （8，4 $\text{[math]}$ ]

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二、填空题

13. 若命题p：“ $\text{[math]}$ ”是假命题，则实数a的取值范围是．

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14. 两所学校分别有2名，3名学生获奖，这5名学生要排成一排合影，则存在同校学生排在一起的概率为.

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15. (2016高二上·重庆期中) 过点 $\text{[math]}$ 的直线l与圆C：（x﹣1）²+y²=4交于A、B两点，C为圆心，当∠ACB最小时，直线l的方程为．

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16. 已知函数f（x）=2|cosx|sinx+sin2x，给出下列四个命题：

①函数f（x）的图象关于直线 $\text{[math]}$ 对称；
②函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；
③函数f（x）的最小正周期为π；
④函数f（x）的值域为[﹣2，2]．
其中真命题的序号是．（将你认为真命题的序号都填上）

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三、解答题

17. 已知等差数列{a_n}．满足：a_n₊₁＞a_n（n∈N^*），a₁=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后成等比数列，a_n+2log₂b_n=﹣1．
（Ⅰ）分别求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n•b_n}的前n项和T_n ．

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18. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC﹣1）=1．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求△ABC的面积．

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19. 如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC与BD相交于点O，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AB=2，CF=3．
1. （1）求证：BD⊥平面ACFE；
2. （2）当直线FO与平面BED所成角的大小为45°时，求AE的长度．
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20. 某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况，绘制了该厂日销售量的频率分布直方图，如图所示：将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．
1. （1）求未来3天内，连续2天日销售量不低于8吨，另一天日销售量低于8吨的概率；
2. （2）用X表示未来3天内日销售量不低于8吨的天数，求随机变量X的分布列及数学期望．
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21. 已知椭圆 $\text{[math]}$ 的离心率为 $\text{[math]}$ ，且过点 $\text{[math]}$ ．若点M（x₀ ， y₀）在椭圆C上，则点 $\text{[math]}$ 称为点M的一个“椭点”．
1. （1）求椭圆C的标准方程；
2. （2）若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB的面积．
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22. 已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x²+ax﹣3．
1. （1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
2. （2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．
3. （3）探讨函数F（x）=lnx﹣ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 是否存在零点？若存在，求出函数F（x）的零点，若不存在，请说明理由．
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