如图，已知四边形ABCD关于O点成中心对称，求证：四边形ABCD是平行四边形.

1. 如图，已知四边形ABCD关于O点成中心对称，求证：四边形ABCD是平行四边形.

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. 如图，在▱ABCD中，点M ， N分别在边BC ， AD上，且AM∥CN ，对角线BD分别交AM ， CN于点E ， F ．求证BE＝DF ．

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2. (2023九下·西安月考) 如图，已知 $\text{[math]}$ ，请用尺规作图法，求作 $\text{[math]}$ 的一个内接正方形（保留作图痕迹，不写作法）.

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3. (2022九下·泾阳月考) 如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= $\text{[math]}$ 。求BC的长及∠A的正切值．

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1. 如图1，小丽借助几何软件进行数学探究：第一步，画出矩形ABCD和矩形EFGH，点E，F在边AB上 $\text{[math]}$ ，且点C，D，G，H在直线AB的同侧；第二步，设置 $\text{[math]}$ ，矩形EFGH能在边AB上左右滑动；第三步，画出边EF的中点 $\text{[math]}$ ，射线OH与射线AD相交于点 $\text{[math]}$ （点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 不重合），射线OG与射线BC相交于点 $\text{[math]}$ （点Q，C不重合），观测DP，CQ的长度.
1. （1）如图2，小丽取AB=4，EF=3，m=1，n=3，滑动矩形EFGH，当点E，A重合时，CQ=.
2. （2）小丽滑动矩形EFGH，使得О恰为边AB的中点.她发现对于任意的m≠n，DP=CQ总成立.请说明理由.
3. （3）经过数次操作，小丽猜想，设定m，n的某种数量关系后，滑动矩形EFGH，DP=CQ总成立.小丽的猜想是否正确？请说明理由.
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2. 如图，大厅的天花板上挂有一盏吊灯 $\text{[math]}$ ，测量人员从 $\text{[math]}$ 点处测得吊灯顶端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，吊灯底端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，从 $\text{[math]}$ 点沿水平方向前进6米到达点 $\text{[math]}$ ，测得吊灯底端 $\text{[math]}$ 的仰角为 $\text{[math]}$ ，求吊灯 $\text{[math]}$ 的长度．（结果保留根号，参考数据： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）

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3. (2022九下·哈尔滨开学考) 先化简，再求代数式 $\text{[math]}$ 的值，其中 $\text{[math]}$

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1. (2024九下·定海开学考) 如图，正六边形 $\text{[math]}$ 内接于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为6，则这个正六边形的边心距 $\text{[math]}$ 和弧 $\text{[math]}$ 的长分别为（）

A . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$

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2. (2022九下·长沙月考) 如图，AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B＝36°，∠C＝76°则∠DAF＝度.

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3. (2023九下·丹徒月考) 如图，点A，B，C，D四点均在圆O上，∠AOD=68°，AO//DC，则∠B的度数为（）

A . 40° B . 60° C . 56° D . 68°

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1. (2021八上·沈河月考) 如图，在 $\text{[math]}$ ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE．
1. （1）线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；
2. （2）求证：BG²﹣GE²＝EA²；
3. （3）若BC＝2 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ BDH的面积．
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2.
1. （1）方法呈现：
  如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
  解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE ，可证△ACD≌△EBD ，从而把AB、AC ， 2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；
2. （2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D ， DE交AB于点E ， DF交AC于点F ，连接EF ，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；
3. （3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB∥CD ， AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB ， AF ， CF之间的数量关系，并加以证明．
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3. (2023九上·靖江期末) 如图，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C.
1. （1）求出A、B、C三点的坐标；
2. （2）将抛物线 $\text{[math]}$ 图像x轴上方部分沿x轴向下翻折，保留抛物线与x轴的交点和x轴下方图像，得到的新图像记作M，图像M与直线 $\text{[math]}$ 恒有四个交点，从左到右四个交点依次记为D，E，F，G.若以 $\text{[math]}$ 为直径作圆，该圆记作图像N.
  ①在图像M上找一点P，使得 $\text{[math]}$ 的面积为3，求出点P的坐标；
  ②当图像N与x轴相离时，直接写出t的取值范围.
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1. (2021·宁波) 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一.如示意图， $\text{[math]}$ 分别与 $\text{[math]}$ 相切于点C，D，延长 $\text{[math]}$ 交于点P.若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的半径为 $\text{[math]}$ ，则图中 $\text{[math]}$ 的长为 $\text{[math]}$ .（结果保留 $\text{[math]}$ ）

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2. (2021·怀化) 下列图形中，可能是圆锥侧面展开图的是（）

A . B . C . D .

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3. (2021·锦州) 如图，在平面直角坐标系中，▱OABC的顶点A ， B在第一象限内，顶点C在y轴上，经过点A的反比例函数y＝ $\text{[math]}$ （x＞0）的图象交BC于点D．若CD＝2BD ， ▱OABC的面积为15，则k的值为．

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