如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．

1. (2016九上·仙游期末) 如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
1. （1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
3. （2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求DE的长；
5. （3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

能力提升真题演练换一批

1. (2022九上·襄汾月考) 如图， $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的直径，P为半圆 $\text{[math]}$ 的中点，连接 $\text{[math]}$ 并延长至点B，使 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积．
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2. (2021九上·西城期末) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，点A在 $\text{[math]}$ 上，点P在 $\text{[math]}$ 内，给出如下定义：连接 $\text{[math]}$ 并延长交 $\text{[math]}$ 于点B，若 $\text{[math]}$ ，则称点P是点A关于 $\text{[math]}$ 的k倍特征点．
1. （1）如图，点A的坐标为 $\text{[math]}$ ．
  ①若点P的坐标为 $\text{[math]}$ ，则点P是点A关于 $\text{[math]}$ 的 ▲ 倍特征点；
  ②在 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 这三个点中，点 ▲ 是点A关于 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍特征点；
  ③直线l经过点A，与y轴交于点D， $\text{[math]}$ .点E在直线l上，且点E是点A关于 $\text{[math]}$ 的 $\text{[math]}$ 倍特征点，求点E的坐标；
2. （2）若当k取某个值时，对于函数 $\text{[math]}$ 的图象上任意一点M，在 $\text{[math]}$ 上都存在点N，使得点M是点N关于 $\text{[math]}$ 的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．
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3. (2021九上·南通月考) 若抛物线 $\text{[math]}$ 与直线 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 轴于同一点，且抛物线的顶点在直线 $\text{[math]}$ 上，称该抛物线与直线互为“伙伴函数”，直线的伙伴函数表达式不唯一.
1. （1）求抛物线 $\text{[math]}$ 的“伙伴函数”表达式；
2. （2）若直线 $\text{[math]}$ 与抛物线 $\text{[math]}$ 互为“伙伴函数”，求m与c的值；
3. （3）设互为“伙伴函数”的抛物线顶点坐标为 $\text{[math]}$ 且 $\text{[math]}$ ，它的一个“伙伴函数”表达式为 $\text{[math]}$ ，求该抛物线表达式，并确定在 $\text{[math]}$ 范围内该函数的最大值.
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1. (2021·菏泽) 在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 分别是边 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的动点，且 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，将矩形 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处，点 $\text{[math]}$ 落在点 $\text{[math]}$ 处．
1. （1）如图1，当 $\text{[math]}$ 与线段 $\text{[math]}$ 交于点 $\text{[math]}$ 时，求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）如图2，当点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的延长线上时， $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，求证：点 $\text{[math]}$ 在线段 $\text{[math]}$ 的垂直平分线上；
3. （3）当 $\text{[math]}$ 时，在点 $\text{[math]}$ 由点 $\text{[math]}$ 移动到 $\text{[math]}$ 中点的过程中，计算出点 $\text{[math]}$ 运动的路线长．
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2. (2021·北部湾) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）尺规作图：过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 的垂线，垂足为 $\text{[math]}$ （不要求写作法，保留作图痕迹）；
3. （3）在（2）的条件下，已知四边形 $\text{[math]}$ 的面积为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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3. (2021·云南) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 是矩形，E、F分别是线段 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 上的点，点O是 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的交点．若将 $\text{[math]}$ 沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，则点E与点F重合．
1. （1）求证：四边形 $\text{[math]}$ 是菱形；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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