问题提出如图①，在矩形的边上找一点E，将矩形沿直线折叠，点C的对应点为，再在上找一点F，将矩形沿直线折叠，使点A的对应点落在上则问题探究如图②在矩形中，，，点P是矩形边上一点，连接，将、分别沿翻折，得到、，当P、、三点共线时，则称P为边上的

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1. (2023·包头模拟)
1. （1）问题提出
  如图①，在矩形 $\text{[math]}$ 的边 $\text{[math]}$ 上找一点E，将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，点C的对应点为 $\text{[math]}$ ，再在 $\text{[math]}$ 上找一点F，将矩形沿直线 $\text{[math]}$ 折叠，使点A的对应点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 上则 $\text{[math]}$ ．
3. （2）问题探究
  如图②在矩形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，点P是矩形 $\text{[math]}$ 边 $\text{[math]}$ 上一点，连接 $\text{[math]}$ ，将 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 分别沿 $\text{[math]}$ 翻折，得到 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ ，当P、 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 三点共线时，则称P为 $\text{[math]}$ 边上的“优叠点”，求此时 $\text{[math]}$ 的长度．
5. （3）问题解决
  如图③，矩形 $\text{[math]}$ 位于平面直角坐标系中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．点A在标原点，B，D分别在x轴与y轴上，点E和点F分别是 $\text{[math]}$ 和 $\text{[math]}$ 边上的动点，运动过程中始终保持 $\text{[math]}$ ．当点P是 $\text{[math]}$ 边上唯一的“优叠点”时，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点M，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点N，请问 $\text{[math]}$ 是否能取得最大值？如果能，请确定此时点M的位置（即求出点M的坐标）及四边形 $\text{[math]}$ 的面积，若不能，请说明理由．

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