如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)

1. (2021高二上·金山期末) 如图， $\text{[math]}$ 是底面边长为1的正三棱锥， $\text{[math]}$ 分别为棱 $\text{[math]}$ 上的点，截面 $\text{[math]}$ 底面 $\text{[math]}$ ，且棱台 $\text{[math]}$ 与棱锥 $\text{[math]}$ 的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为正四面体；
3. （2）若 $\text{[math]}$ ，求二面角 $\text{[math]}$ 的大小；
5. （3）设棱台 $\text{[math]}$ 的体积为 $\text{[math]}$ ，是否存在体积为 $\text{[math]}$ 且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台 $\text{[math]}$ 有相同的棱长和? 若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.

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1. (2021高二上·金山期末) 如图，是底面边长为1的正三棱锥，分别为棱上的点，截面底面 ， 且棱台与棱锥的棱长和相等.(棱长和是指多面体中所有棱的长度之和)