已知向量，是两个互相垂直的单位向量，是坐标原点，，，若是直角三角形，则实数的值为．

1. 已知向量 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是两个互相垂直的单位向量， $\text{[math]}$ 是坐标原点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 是直角三角形，则实数 $\text{[math]}$ 的值为．

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2021·吉林模拟) 已知i为虚数单位，复数z满足 $\text{[math]}$ ，则z=．

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2. (2022·柯桥模拟) 已知 $\text{[math]}$ 是圆心为O，半径为R的圆的内接三角形，M是圆O上一点，G是 $\text{[math]}$ 的重心．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．

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3. 若一个正 $\text{[math]}$ 棱台的棱数大于15，且各棱的长度构成的集合为 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的最小值为

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1. (2022·柳州模拟) 在正方体 $\text{[math]}$ 中，点E为线段 $\text{[math]}$ 上的动点，现有下面四个命题：
①点E到直线AB的距离为定值； ②直线DE与直线AC所成角为定值；

③三棱锥 $\text{[math]}$ 的外接球体积为定值； ④三棱锥 $\text{[math]}$ 的体积为定值．

其中所有真命题的序号是．

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2. (2022·广安模拟) 如图，AB是 $\text{[math]}$ 的直径，PA垂直于 $\text{[math]}$ 所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点， $\text{[math]}$ ，三棱锥P-ABC体积的最大值为 $\text{[math]}$ ，则当△PBC的面积最大时，线段AC的长度为．

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3. (2022·济南二模) 在高为2的直三棱柱 $\text{[math]}$ 中，AB⊥AC，若该直三棱柱存在内切球，则底面△ABC周长的最小值为.

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1. (2022·松江模拟) 已知正六边形 $\text{[math]}$ 的边长为2，当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 的最大值为（）

A . 6 B . 12 C . 18 D . $\text{[math]}$

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2. (2021·潍坊模拟) 在① $\text{[math]}$ ，② $\text{[math]}$ ，③ $\text{[math]}$ 这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答问题.
问题：在 $\text{[math]}$ 中，内角 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 所对边分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 的面积为3， ▲ ，求 $\text{[math]}$ .

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3. (2022·重庆模拟) 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（）

A . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ B . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ C . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ D . 若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$

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1. (2024高三上·南山期末) 如图，在三棱台 $\text{[math]}$ 中，平面 $\text{[math]}$ 平面 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求直线 $\text{[math]}$ 与平面 $\text{[math]}$ 所成角的正弦值.
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2. (2021高二上·河北月考) 已知动点 $\text{[math]}$ 到点 $\text{[math]}$ 的距离与到直线 $\text{[math]}$ 的距离相等，动点 $\text{[math]}$ 的轨迹为曲线 $\text{[math]}$ .
1. （1）求曲线 $\text{[math]}$ 的方程；
2. （2）已知 $\text{[math]}$ ，不垂直于坐标轴的直线 $\text{[math]}$ 与曲线 $\text{[math]}$ 相交于 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 两点， $\text{[math]}$ 是坐标原点，若 $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ ，问直线 $\text{[math]}$ 是否过定点？若过定点，求出该定点；若不过定点，请说明理由.
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3. (2023·柯桥模拟) 如图，在四棱锥 $\text{[math]}$ 中，底面ABCD为平行四边形， $\text{[math]}$ ，侧面 $\text{[math]}$ 底面ABCD， $\text{[math]}$ ，且二面角 $\text{[math]}$ 的大小是 $\text{[math]}$ ．
1. （1）证明： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求二面角 $\text{[math]}$ 的正弦值．
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1. (2022·上海) 已知双曲线 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，双曲线上右支上有任意两点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，满足 $\text{[math]}$ 恒成立，则a的取值范围是

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2. (2022·新高考Ⅱ卷) 已知O为坐标原点，过抛物线 $\text{[math]}$ 的焦点F的直线与C交于A，B两点，点A在第一象限，点 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ ，则（）

A . 直线 $\text{[math]}$ 的斜率为 $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·北京) 若直线 $\text{[math]}$ 是圆 $\text{[math]}$ 的一条对称轴，则 $\text{[math]}$ （）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . 1 D . -1

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