如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F

1. (2017·潮南模拟) 如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F
1. （1）四边形ABCD是什么特殊的四边形？请判断并说明理由；
3. （2）求证：BE=CF．

能力提升真题演练换一批

1. (2023·玉林模拟) 已知二次函数 $\text{[math]}$ 的图象经过点 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该二次函数的表达式；
2. （2）二次函数图象与 $\text{[math]}$ 轴的另一个交点为 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 轴的交点为 $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒2个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，同时点 $\text{[math]}$ 从点 $\text{[math]}$ 出发，在线段 $\text{[math]}$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $\text{[math]}$ 运动，直到其中一点到达终点时，两点停止运动，求 $\text{[math]}$ 面积的最大值；
3. （3）在点 $\text{[math]}$ 、 $\text{[math]}$ 运动的过程中，是否存在使 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相似的时刻，如果存在，求出运动时间 $\text{[math]}$ ，如果不存在，请说明理由.
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2. (2023·永嘉模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 平分 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点D，过点A作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于点E．
1. （1）求 $\text{[math]}$ 的度数．
2. （2）求证： $\text{[math]}$ 是等腰三角形．
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3. (2021·太原模拟) 综合与探究
如图1，直线 $\text{[math]}$ ： $\text{[math]}$ 与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线 $\text{[math]}$ 经过A，B两点，与x轴的另一个交点为点C，连接 $\text{[math]}$ ，作 $\text{[math]}$ 关于直线l对称的 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求抛物线的表达式，并直接写出点D的坐标；
2. （2）如图2，将 $\text{[math]}$ 沿着x轴向左平移t个单位长度得到 $\text{[math]}$ ，A，B，D三点的对应点分别为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 三点，当点A与点C重合时停止． $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点M， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 交于点N，连接 $\text{[math]}$ ，记 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 重叠部分的面积为S．请解答下列问题：
  ①求S与t的函数关系式；
  
  ②当 $\text{[math]}$ 轴时，求S的值；
3. （3）当（2）中的S取得最大值时，点 $\text{[math]}$ 沿着一定的路径运动到 $\text{[math]}$ 轴上的点P处，然后再沿着与x轴平行的直线运动到抛物线对称轴上的点Q处，最后运动到点C处．请直接写出点 $\text{[math]}$ 运动到点C处的最短路径的长．
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1. (2021·恩施) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，已知 $\text{[math]}$ .
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
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2. (2022·长沙) 为了进一步改善人居环境，提高居民生活的幸福指数.某小区物业公司决定对小区环境进行优化改造.如图，AB表示该小区一段长为 $\text{[math]}$ 的斜坡，坡角 $\text{[math]}$ 于点D.为方便通行，在不改变斜坡高度的情况下，把坡角降为 $\text{[math]}$ .
1. （1）求该斜坡的高度BD；
2. （2）求斜坡新起点C与原起点A之间的距离.（假设图中C，A，D三点共线）
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3. (2022·新疆) 如图，⊙ $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的外接圆，AB是⊙ $\text{[math]}$ 的直径，点D在⊙ $\text{[math]}$ 上， $\text{[math]}$ ，连接AD，延长DB交过点C的切线于点E.
1. （1）求证： $\text{[math]}$ ；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求DB的长.
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1. (2017·潮南模拟) 如图，在⊙O中，AC与BD是圆的直径，BE⊥AC，CF⊥BD，垂足分别为E、F

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