如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABC的中位线，点F是BC边上的一个动点，连结AF交BD于点H，交DE于点G。

1. (2020·常山模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABC的中位线，点F是BC边上的一个动点，连结AF交BD于点H，交DE于点G。
1. （1）求△BDE的面积；
3. （2）当四边形DCFH与四边形BEGH的面积相等时，求 $\text{[math]}$ 的值；
5. （3）以点F为圆心，FB为半径作⊙F，当 $\text{[math]}$ 的值满足什么条件时，⊙F与线段DE有且只有一个交点。

能力提升真题演练换一批

1. (2022·齐齐哈尔) 如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作 $\text{[math]}$ ，且CF=CD，连接BF．
1. （1）求证：BF是⊙O的切线；
2. （2）若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．
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2. (2022九下·郑州模拟) 马老师在带领学生学习《正方形的性质与判定》这一课时，给出如下问题：如图①，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，正方形 $\text{[math]}$ 与正方形ABCD的边长相等.在正方形 $\text{[math]}$ 绕点O旋转的过程中， $\text{[math]}$ 与AB相交于点M， $\text{[math]}$ 与BC相交于点N，探究两个正方形重叠部分的面积与正方形ABCD的面积有什么关系.
1. （1）小亮第一个举手回答：“两个正方形重叠部分的面积是正方形ABCD面积的”；
2. （2）马老师鼓励同学们编一道拓展题，小颖编了这样一道题：如图②，在四边形ABCD中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接AC.若 $\text{[math]}$ ，求四边形ABCD的面积.请你帮小颖解答这道题.
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3. (2023·荆州模拟) 如图，以菱形ABCD的边AB为直径的⊙O交对角线AC于点P，过P作PE⊥BC，垂足为E．
1. （1）求证：PE是⊙O的切线；
2. （2）若菱形ABCD的面积为24， $\text{[math]}$ ，求PE的长．
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2. (2021·广元) 如图1，在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中，抛物线 $\text{[math]}$ 与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点 $\text{[math]}$ 的坐标值：

x	…	$\text{[math]}$	0	1	2	3	…
y	…	0	3	4	3	0	…

（1）求出这条抛物线的解析式及顶点M的坐标；
（2） $\text{[math]}$ 是抛物线对称轴上长为1的一条动线段（点P在点Q上方），求 $\text{[math]}$ 的最小值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作 $\text{[math]}$ 轴，垂足为F， $\text{[math]}$ 的外接圆与 $\text{[math]}$ 相交于点E.试问：线段 $\text{[math]}$ 的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由.

3. (2022·湘潭) 已知A（3，0）、B（0，4）是平面直角坐标系中两点，连接AB.
1. （1）如图①，点P在线段AB上，以点P为圆心的圆与两条坐标轴都相切，求过点P的反比例函数表达；
2. （2）如图②，点N是线段OB上一点，连接AN，将△AON沿AN翻折，使得点O与线段AB上的点M重合，求经过A、N两点的一次函数表达式.
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1. (2020·常山模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，DE是△ABC的中位线，点F是BC边上的一个动点，连结AF交BD于点H，交DE于点G。