如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F。

1. (2020·常山模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点D，点O是AB上一点，⊙O过B、D两点，且分别交AB、BC于点E、F。
1. （1）求证：AC是⊙O的切线；
3. （2）已知AB=6，BC=3，求 $\text{[math]}$ 的长。

能力提升真题演练换一批

1. (2022·成都模拟) 如图，在正方形网格图中建立一直角坐标系，一条圆弧经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作：
1. （1）利用网格确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置，并写出点D坐标为 ▲ ；
2. （2）连接AD、CD，则⊙D的半径为（结果保留根号），∠ADC的度数为；
3. （3）若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为．（结果保留根号）．
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2. (2023·西山模拟) 如图，P是以 $\text{[math]}$ 为圆心的两个同心圆外一点，过P点的两条直线分别与大圆 $\text{[math]}$ 交于A、B、C、D四个点，其中一条直线交小圆 $\text{[math]}$ 于F点，F为线段 $\text{[math]}$ 的中点， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，垂足为E．
1. （1）求证： $\text{[math]}$ 为小圆 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求大圆 $\text{[math]}$ 的半径．
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3. (2022·七星关模拟) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，以 $\text{[math]}$ 为直径的 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 的延长线于 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ ，垂足为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．
1. （1）求证：直线 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的切线；
2. （2）求证： $\text{[math]}$ ；
3. （3）若 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的值．
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1. (2022·北部湾) 已知 $\text{[math]}$ ，点A，B分别在射线 $\text{[math]}$ 上运动， $\text{[math]}$ .
1. （1）如图①，若 $\text{[math]}$ ，取AB中点D，点A，B运动时，点D也随之运动，点A，B，D的对应点分别为 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ .判断OD与 $\text{[math]}$ 有什么数量关系?证明你的结论：
2. （2）如图②，若 $\text{[math]}$ ，以AB为斜边在其右侧作等腰直角三角形ABC，求点O与点C的最大距离：
3. （3）如图③，若 $\text{[math]}$ ，当点A，B运动到什么位置时， $\text{[math]}$ 的面积最大?请说明理由，并求出 $\text{[math]}$ 面积的最大值.
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2. (2021·宿迁) 已知正方形ABCD与正方形AEFG，正方形AEFG绕点A旋转一周.
1. （1）如图①，连接BG、CF，求 $\text{[math]}$ 的值；
2. （2）当正方形AEFG旋转至图②位置时，连接CF、BE，分别去CF、BE的中点M、N，连接MN、试探究：MN与BE的关系，并说明理由；
3. （3）连接BE、BF，分别取BE、BF的中点N、Q，连接QN，AE=6，请直接写出线段QN扫过的面积.
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3. (2021·北京) 在平面直角坐标系 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的半径为1，对于点 $\text{[math]}$ 和线段 $\text{[math]}$ ，给出如下定义：若将线段 $\text{[math]}$ 绕点 $\text{[math]}$ 旋转可以得到 $\text{[math]}$ 的弦 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ 分别是 $\text{[math]}$ 的对应点），则称线段 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点 $\text{[math]}$ 为中心的“关联线段”．
1. （1）如图，点 $\text{[math]}$ 的横､纵坐标都是整数．在线段 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 的以点 $\text{[math]}$ 为中心的“关联线段”是；
2. （2） $\text{[math]}$ 是边长为1的等边三角形，点 $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点 $\text{[math]}$ 为中心的“关联线段”，求 $\text{[math]}$ 的值；
3. （3）在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ 是 $\text{[math]}$ 的以点 $\text{[math]}$ 为中心的“关联线段”，直接写出 $\text{[math]}$ 的最小值和最大值，以及相应的 $\text{[math]}$ 长．
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