一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）

1. (2020·上城模拟) 一把5m长的梯子AB斜靠在墙上，梯子倾斜角α的正切值为 $\text{[math]}$ ，考虑安全问题，现要求将梯子的倾斜角改为30°，则梯子下滑的距离AA'的长度是（）

A . $\text{[math]}$ m B . $\text{[math]}$ m C . $\text{[math]}$ m D . $\text{[math]}$ m

基础巩固能力提升变式训练拓展培优真题演练换一批

1. (2022·长清模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于 $\text{[math]}$ MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD=2，AB=6，则△ABD的面积是（）

A . 3 B . 6 C . 12 D . 18

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2. (2022·顺义模拟) 如图， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， DA平分∠CDE，则∠DEB的度数为（）

A . 75° B . 60° C . 45° D . 30°

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3. (2024·织金模拟) 在学习“用直尺和圆规作一个角等于已知角”时，教科书上的示意图如下：
对于“想一想”中的问题，下列回答正确的是（）

A . 根据“边边边”可知， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ B . 根据“边角边”可知， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ C . 根据“角边角”可知， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ D . 根据“角角边”可知， $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$

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1. (2023·泸州) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ，点 $\text{[math]}$ 在斜边 $\text{[math]}$ 上，以 $\text{[math]}$ 为直径的半圆 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 相切于点 $\text{[math]}$ ，与 $\text{[math]}$ 相交于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 的长是（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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2. (2023·红桥模拟) 如图，已知 $\text{[math]}$ 是矩形 $\text{[math]}$ 的对角线，点 $\text{[math]}$ 分别在边 $\text{[math]}$ 上，连结 $\text{[math]}$ ．将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，将 $\text{[math]}$ 沿 $\text{[math]}$ 翻折，翻折后点 $\text{[math]}$ 分别落在对角线 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 处，连结 $\text{[math]}$ ．则下列结论中一定正确的是（　　）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2022·青县模拟) 为了疫情防控工作的需要，某学校在门口的大门上方安装了人体体外测温摄像头，当学生站在点B时测得摄像头M的仰角为30°，当学生走到点A时测得摄像头M的仰角为60°，则当学生从B走向A时，测得的摄像头M的仰角为（）

A . 越来越小，可能为20° B . 越来越大，可能为40° C . 越来越大，可能为70° D . 走到AB中点时，仰角一定为45°

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1. (2022·莲湖模拟) 如图，在△ABC中，点D在BC的延长线上， $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．求证： $\text{[math]}$ ．

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2. (2022·深圳模拟) 如图，在平面直角坐标系中，将直线y=-3x向上平移3个单位，与y轴、x轴分别交于点A、B，以线段AB为斜边在第一象限内作等腰直角三角形ABC．若反比例函数 $\text{[math]}$ （x＞0）的图象经过点C，则k的值为．

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3. (2023·乐清模拟) 若圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆弧的半径为．

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1. 如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，点D是半圆上的动点，点C是 $\text{[math]}$ 中点，
AC ， BD交于点E ，连接AD ．
1. （1）如图1，若∠ABD＝30°，
  ①则∠CAD的度数为 ▲ ；
  ②求点E到AB的距离．
2. （2）如图2，连接EO ，将EO绕点E顺时针旋转90°，点O的对应点F恰好落在AD上，求证：OB＝EB ．
3. （3）在（2）的条件下，连接BC并延长，交AD的延长线于点G ，求出四边形CEDG的面积．
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2. (2021九上·寿光期中) 如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在边AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=6，cos A= $\text{[math]}$ .求：
1. （1） DE，CD的长；
2. （2） tan∠DBC的值．
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3. (2022九上·金华月考) 如图，抛物线与轴交于A、B（3，0）两点，与轴交于点C（0，－3），抛物线的顶点为D．
1. （1）求抛物线的解析式；
2. （2）已知点M是x轴上的动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点G，是否存在这样的点M，使得以点A、M、G为顶点的三角形与△BCD相似，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
3. （3）在直线BC下方抛物线上一点P，作PQ垂直BC于点Q，连接CP，当△CPQ中有一个角等于∠ACO时，求点P的坐标。
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1. (2022·舟山) 小惠自编一题：“如图在四边形ABCD中对角线AC、BD；交于点O，AC⊥BD，OB=OD。求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流。

小惠：

证明：∵ AC⊥BD，OB= OD，

∴AC垂直平分BD

∴AB= AD，CB=CD

∴四边形ABCD是菱形

小洁：

这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明。

若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．

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2. (2021·山西) 如图，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ 切 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 交 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ．若 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ 为（）

A . $\text{[math]}$ B . $\text{[math]}$ C . $\text{[math]}$ D . $\text{[math]}$

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3. (2021·河南) 小华用一张直角三角形纸片玩折纸游戏，如图1，在 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ .第一步，在 $\text{[math]}$ 边上找一点 $\text{[math]}$ ，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图2，第二步，将纸片沿 $\text{[math]}$ 折叠，点 $\text{[math]}$ 落在 $\text{[math]}$ 处，如图3.当点 $\text{[math]}$ 恰好在原直角三角形纸片的边上时，线段 $\text{[math]}$ 的长为.

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