如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE2=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．

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1. (2016·柳州) 如图，AB为△ABC外接圆⊙O的直径，点P是线段CA延长线上一点，点E在圆上且满足PE²=PA•PC，连接CE，AE，OE，OE交CA于点D．
1. （1）求证：△PAE∽△PEC；
3. （2）求证：PE为⊙O的切线；
5. （3）若∠B=30°，AP= $\text{[math]}$ AC，求证：DO=DP．

能力提升真题演练换一批

1. (2021·青田模拟) 如图，四边形ABCD的四个顶点在以AC为直径的⊙O上，点D为 $\text{[math]}$ 的中点，过圆心O作OE⊥AB于点E，交BD于点F，AC＝10，OF＝1.
1. （1）求证：∠ABD＝45°.
2. （2）求AB的长.
3. （3）求FG的长.
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2. (2021·金华模拟) 在平面直角坐标系中，点A，D的坐标分别是 $\text{[math]}$ .在y轴上取一点C，将线段 $\text{[math]}$ 绕点C逆时针旋转 $\text{[math]}$ 得到 $\text{[math]}$ .
1. （1）如图1，若点C的坐标为 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 的长.
2. （2）如图2，若点A在线段 $\text{[math]}$ 上，求点C的坐标.
3. （3）当 $\text{[math]}$ 取得的最小值时，求点C的坐标.
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3. (2021·扬州) 如图，四边形 $\text{[math]}$ 中， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，连接 $\text{[math]}$ ，以点B为圆心， $\text{[math]}$ 长为半径作 $\text{[math]}$ ，交 $\text{[math]}$ 于点E.
1. （1）试判断 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 的位置关系，并说明理由；
2. （2）若 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，求图中阴影部分的面积.
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1. (2022·无锡) 如图，在▱ABCD中，点O为对角线BD的中点，EF过点O且分别交AB、DC于点E、F，连接DE、BF.

求证：
1. （1） △DOF≌△BOE；
2. （2） DE=BF.
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2. (2022·自贡) 如图，用四根木条钉成矩形框 $\text{[math]}$ ，把边 $\text{[math]}$ 固定在地面上，向右推动矩形框，矩形框的形状会发生改变（四边形具有不稳定性）.
1. （1）通过观察分析，我们发现图中线段存在等量关系，如线段 $\text{[math]}$ 由 $\text{[math]}$ 旋转得到，所以 $\text{[math]}$ .我们还可以得到 $\text{[math]}$ = ， $\text{[math]}$ = ；
2. （2）进一步观察，我们还会发现 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，请证明这一结论；
3. （3）已知 $\text{[math]}$ ，若 $\text{[math]}$ 恰好经过原矩形 $\text{[math]}$ 边的中点 $\text{[math]}$ ，求 $\text{[math]}$ 与 $\text{[math]}$ 之间的距离.
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3. (2021·株洲) 将一物体（视为边长为 $\text{[math]}$ 米的正方形 $\text{[math]}$ ）从地面 $\text{[math]}$ 上挪到货车车厢内.如图所示，刚开始点 $\text{[math]}$ 与斜面 $\text{[math]}$ 上的点 $\text{[math]}$ 重合，先将该物体绕点 $\text{[math]}$ 按逆时针方向旋转至正方形 $\text{[math]}$ 的位置，再将其沿 $\text{[math]}$ 方向平移至正方形 $\text{[math]}$ 的位置（此时点 $\text{[math]}$ 与点 $\text{[math]}$ 重合），最后将物体移到车厢平台面 $\text{[math]}$ 上.已知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，过点 $\text{[math]}$ 作 $\text{[math]}$ 于点 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 米， $\text{[math]}$ 米.
1. （1）求线段 $\text{[math]}$ 的长度；
2. （2）求在此过程中点 $\text{[math]}$ 运动至点 $\text{[math]}$ 所经过的路程.
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